Колебания и волны. Алешкевич В.А - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

131
Ëåêöèÿ 6
ñàíèÿ èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåîáõîäèìî ðåøàòü íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè.
Àíàëèçîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí êîíå÷íîé àìïëèòóäû çàíèìàåòñÿ îòäåëüíàÿ íàóêà, íà-
çûâàåìàÿ íåëèíåéíîé àêóñòèêîé.  íàøèõ ëåêöèÿõ ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü íåáîëüøèì
îáúåìîì ñâåäåíèé èç íåëèíåéíîé àêóñòèêè.
Ïóñòü â ãàçå âäîëü îñè Ox ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîùíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà. Åñëè
ïðåíåáðå÷ü âÿçêîñòüþ ãàçà, òî îäíîìåðíîå äâèæåíèå ÷àñòèö âäîëü ýòîé îñè áóäåò îïè-
ñûâàòüñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà è óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè:
.0)(
;
=ρ
∂
∂
+
∂
∂ρ
∂
∂
−=
∂
∂
ρ+
∂
∂
ρ
v
v
v
v
xt
x
p
xt
(6.35)
Ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî â èõ ëåâûõ ÷à-
ñòÿõ ñîäåðæàòñÿ íåëèíåéíûå ÷ëåíû. Îáû÷íî ýòó íåëèíåéíîñòü íàçûâàþò êèíåìàòè÷åñ-
êîé íåëèíåéíîñòüþ. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (6.35) ñîäåðæàò òðè íåèçâåñòíûå ôóíêöèè
),( txρ
,
),( txp
è
),( txv
, òî íåîáõîäèìî èõ äîïîëíèòü òðåòüèì óðàâíåíèåì, ñâÿçûâàþ-
ùèì p è ρ. Äëÿ ãàçà îíî, êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì àäèàáàòû:
γ
ρ
ρ
=ρ=
0
0
)(
ppp
. (6.36)
Ïðåäñòàâèì p è ρ â âèäå:
ppp δ+=
0
; δρ+ρ=ρ
0
. (6.37)
Çàòåì ïîäñòàâèì (6.37) â (6.36):
γ
ρ
δρ
+=δ+
0
00
1
ppp
. (6.38)
Ïîëàãàÿ, ÷òî
1/
0
<ρδρ
, ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü (6.38) â ðÿä:
()
+
ρ
δρ−γγ
+
ρ
δρ
γ+=δ+
...
2
1
1
2
00
00
ppp
. (6.39)
Ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè, èìåþùèìè ïîðÿäîê ìàëîñòè
3
0
)/(
ρδρ
è âûøå, îêîí÷à-
òåëüíî çàïèøåì óðàâíåíèå àäèàáàòû â âèäå:
0
2
2
0
2
0
)(
2
1
ρ
δρ−γ
+δρ=δ ccp
, (6.40)
ãäå
0
0
2
0
ρ
γ=
p
c
.
Âòîðîé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (6.40) íà÷èíàåò äàâàòü çàìåòíûé âêëàä ïðè ñèëüíîì
ñæàòèè (ðàçðåæåíèè), ïîýòîìó ñâÿçü ìåæäó âîçìóùåíèÿìè äàâëåíèÿ
pδ
è ïëîòíîñòè
δρ ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé. Ýòà íåëèíåéíîñòü îáóñëîâëåíà íåëèíåéíîñòüþ ñèë ìåæìî-
ëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ. Îíà âìåñòå ñ êè-
íåìàòè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ ìîæåò êàðäèíàëüíî ïîâëèÿòü íà õàðàêòåð ðàñïðîñòðàíå-
íèÿ èíòåíñèâíûõ àêóñòè÷åñêèõ âîëí.
Ëåêöèÿ 6                                                                                131
ñàíèÿ èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåîáõîäèìî ðåøàòü íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè.
Àíàëèçîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí êîíå÷íîé àìïëèòóäû çàíèìàåòñÿ îòäåëüíàÿ íàóêà, íà-
çûâàåìàÿ íåëèíåéíîé àêóñòèêîé.  íàøèõ ëåêöèÿõ ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü íåáîëüøèì
îáúåìîì ñâåäåíèé èç íåëèíåéíîé àêóñòèêè.
       Ïóñòü â ãàçå âäîëü îñè Ox ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîùíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà. Åñëè
ïðåíåáðå÷ü âÿçêîñòüþ ãàçà, òî îäíîìåðíîå äâèæåíèå ÷àñòèö âäîëü ýòîé îñè áóäåò îïè-
ñûâàòüñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà è óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè:
                                 ∂v       ∂v    ∂p
                                   ρ + ρv    =− ;
                                  ∂t      ∂x    ∂x
                                                                              (6.35)
                                ∂ρ ∂
                                   + (ρv ) = 0.
                                ∂t ∂x
          Ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî â èõ ëåâûõ ÷à-
ñòÿõ ñîäåðæàòñÿ íåëèíåéíûå ÷ëåíû. Îáû÷íî ýòó íåëèíåéíîñòü íàçûâàþò êèíåìàòè÷åñ-
êîé íåëèíåéíîñòüþ. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (6.35) ñîäåðæàò òðè íåèçâåñòíûå ôóíêöèè
ρ( x, t ) , p ( x, t ) è v ( x, t ) , òî íåîáõîäèìî èõ äîïîëíèòü òðåòüèì óðàâíåíèåì, ñâÿçûâàþ-
ùèì p è ρ. Äëÿ ãàçà îíî, êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì àäèàáàòû:
                                                              γ
                                                       ρ    
                                     p = p (ρ) = p 0        .                      (6.36)
                                                       ρ0    
          Ïðåäñòàâèì p è ρ â âèäå:
                            p = p 0 + δp ;                ρ = ρ 0 + δρ .               (6.37)
          Çàòåì ïîäñòàâèì (6.37) â (6.36):
                                                                  γ
                                                   δρ 
                                  p 0 + δp = p 0 1 +  .                            (6.38)
                                                   ρ0 
          Ïîëàãàÿ, ÷òî δρ / ρ 0 < 1 , ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü (6.38) â ðÿä:

                                           δρ γ (γ − 1)  δρ 
                                                                2   
                                     
                       p 0 + δp = p 0 1 + γ    +           + ... .        (6.39)
                                           ρ0     2  ρ0          
                                                                   
          Ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè, èìåþùèìè ïîðÿäîê ìàëîñòè (δρ / ρ 0 ) 3 è âûøå, îêîí÷à-
òåëüíî çàïèøåì óðàâíåíèå àäèàáàòû â âèäå:

                                                      γ − 1 (δρ) 2
                                δp = c 02 δρ + c 02                ,                   (6.40)
                                                        2    ρ0
          p0
ãäå c 02 = γ .
          ρ0
       Âòîðîé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (6.40) íà÷èíàåò äàâàòü çàìåòíûé âêëàä ïðè ñèëüíîì
ñæàòèè (ðàçðåæåíèè), ïîýòîìó ñâÿçü ìåæäó âîçìóùåíèÿìè äàâëåíèÿ δp è ïëîòíîñòè
δρ ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé. Ýòà íåëèíåéíîñòü îáóñëîâëåíà íåëèíåéíîñòüþ ñèë ìåæìî-
ëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ. Îíà âìåñòå ñ êè-
íåìàòè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ ìîæåò êàðäèíàëüíî ïîâëèÿòü íà õàðàêòåð ðàñïðîñòðàíå-
íèÿ èíòåíñèâíûõ àêóñòè÷åñêèõ âîëí.

Страницы