Колебания и волны. Алешкевич В.А - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
132
Ïåðåéäåì òåïåðü ê óñòàíîâëåíèþ îñíîâíûõ çàêîíîìåðíîñòåé òàêîãî ðàñïðîñò-
ðàíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì (6.37) â óðàâíåíèÿ (6.35). Òîãäà ïîëó÷èì:
.0])[(
;)()(
0
00
=δρ+ρ
∂
∂
+
∂
∂δρ
∂
∂δ
−=
∂
∂
δρ+ρ+
∂
∂
δρ+ρ
v
v
v
v
xt
x
p
xt
(6.41)
×òîáû ïîìî÷ü ÷èòàòåëþ ïðåîäîëåòü ïñèõîëîãè÷åñêèé áàðüåð, ñâÿçàííûé ñ àíà-
ëèçîì ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (6.40)(6.41), ìû ïîêàæåì âíà÷àëå, êàê èç ýòèõ
óðàâíåíèé ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü âîëíîâîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ëèíåéíûé ðåæèì
ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, èçó÷åííûé ïîäðîáíî ðàíåå.
Ëèíåéíûé ðåæèì
)|| ,||(
00
pp <<δρ<<δρ
. Óäåðæèì â óðàâíåíèÿõ (6.41) òîëü-
êî ëèíåéíûå ÷ëåíû. Òîãäà ïîëó÷èì
.
;0
;
2
0
0
0
δρ=δ
=
∂
∂
ρ+
∂
∂δρ
∂
∂δ
−=
∂
∂
ρ
cp
xt
x
p
t
v
v
(6.42)
Èñêëþ÷èì äâå íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, íàïðèìåð,
δρ
è
pδ
. Äëÿ ýòîãî ïðîäèôôå-
ðåíöèðóåì ïåðâîå óðàâíåíèå ïî âðåìåíè t, à âòîðîå  äîìíîæèì íà
2
0
c
è ïðîäèôôåðåí-
öèðóåì ïî êîîðäèíàòå õ, à çàòåì âû÷òåì îäíî óðàâíåíèå èç äðóãîãî. Ñ ó÷åòîì òðåòüåãî
óðàâíåíèÿ ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå δρ è
pδ
, ñîêðàòÿòñÿ, è ìû ïîëó÷èì èçâåñòíîå íàì âîë-
íîâîå óðàâíåíèå
2
2
2
0
2
2
x
c
t ∂
∂
=
∂
∂ vv
, (6.43)
îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå áåç èñêàæåíèé âäîëü îñè Ox ñî ñêîðîñòüþ
0
c
âîëíû
ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü âîëíîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé
äàâëåíèÿ
pδ
è ïëîòíîñòè δρ . Íå îñòàíàâëèâàÿñü äàëåå íà ðåøåíèÿõ òàêèõ óðàâíåíèé
(ìû ýòî ñäåëàëè äåòàëüíî â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ) ïåðåéäåì òåïåðü ê íåëèíåéíîìó ðå-
æèìó ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí êîíå÷íîé àìïëèòóäû.
Íåëèíåéíûé ðåæèì
)|| ,||(
00
pp <δρ<δρ
. Âíà÷àëå ïîïûòàåìñÿ êà÷åñòâåííî
îïèñàòü îñíîâíûå ÷åðòû íåëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, íå ïðèáåãàÿ ê ìàòåìàòèêå.
Íàèáîëåå ïðîñòî ýòî ñäåëàòü, åñëè îáðàòèòüñÿ ê âëèÿíèþ ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè (ôîð-
ìóëà 6.36). Åñëè âñïîìíèòü, ÷òî ñêîðîñòü çâóêà
ρ= dpc /d
, òî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ðàç-
ëè÷íûå ÷àñòè âîëíû ìîãóò äâèãàòüñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè.
Íà ðèñ. 6.8 èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü (6.36) è äëÿ òðåõ çíà÷åíèé ïëîòíîñòè
0
ρ ,
1
ρ è
2
ρ ïðîâåäåíû êàñàòåëüíûå ê ãðàôèêó ôóíêöèè
)(ρ= pp
, óãëîâûå êîýôôè-
öèåíòû êîòîðûõ ðàâíû êâàäðàòó ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Èç ýòîãî ãðàôè-
132                                                             Êîëåáàíèÿ è âîëíû

       Ïåðåéäåì òåïåðü ê óñòàíîâëåíèþ îñíîâíûõ çàêîíîìåðíîñòåé òàêîãî ðàñïðîñò-
ðàíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì (6.37) â óðàâíåíèÿ (6.35). Òîãäà ïîëó÷èì:
                                      ∂v               ∂v    ∂δp
                         (ρ 0 + δρ)      + (ρ 0 + δρ)v    =−     ;
                                      ∂t               ∂x     ∂x
                       ∂δρ ∂                                              (6.41)
                           + [(ρ 0 + δρ)v ] = 0.
                        ∂t  ∂x
        ×òîáû ïîìî÷ü ÷èòàòåëþ ïðåîäîëåòü ïñèõîëîãè÷åñêèé áàðüåð, ñâÿçàííûé ñ àíà-
ëèçîì ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (6.40)–(6.41), ìû ïîêàæåì âíà÷àëå, êàê èç ýòèõ
óðàâíåíèé ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü âîëíîâîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ëèíåéíûé ðåæèì
ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, èçó÷åííûé ïîäðîáíî ðàíåå.

        Ëèíåéíûé ðåæèì ( | δρ | << ρ 0 , | δp | << p 0 ) . Óäåðæèì â óðàâíåíèÿõ (6.41) òîëü-
êî ëèíåéíûå ÷ëåíû. Òîãäà ïîëó÷èì
                                           ∂v     ∂δp
                                      ρ0      =−      ;
                                           ∂t      ∂x
                                       ∂δρ       ∂v
                                            + ρ0     = 0;                            (6.42)
                                        ∂t       ∂x
                                 δp = c 02 δρ.
       Èñêëþ÷èì äâå íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, íàïðèìåð, δρ è δp . Äëÿ ýòîãî ïðîäèôôå-
ðåíöèðóåì ïåðâîå óðàâíåíèå ïî âðåìåíè t, à âòîðîå — äîìíîæèì íà c 02 è ïðîäèôôåðåí-
öèðóåì ïî êîîðäèíàòå õ, à çàòåì âû÷òåì îäíî óðàâíåíèå èç äðóãîãî. Ñ ó÷åòîì òðåòüåãî
óðàâíåíèÿ ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå δρ è δp , ñîêðàòÿòñÿ, è ìû ïîëó÷èì èçâåñòíîå íàì âîë-
íîâîå óðàâíåíèå
                                        ∂ 2v            ∂ 2v
                                            ,  = c 02                   (6.43)
                                ∂t 2   ∂x 2
îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå áåç èñêàæåíèé âäîëü îñè Ox ñî ñêîðîñòüþ c 0 âîëíû
ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè.
       Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü âîëíîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé
äàâëåíèÿ δp è ïëîòíîñòè δρ . Íå îñòàíàâëèâàÿñü äàëåå íà ðåøåíèÿõ òàêèõ óðàâíåíèé
(ìû ýòî ñäåëàëè äåòàëüíî â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ) ïåðåéäåì òåïåðü ê íåëèíåéíîìó ðå-
æèìó ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí êîíå÷íîé àìïëèòóäû.


        Íåëèíåéíûé ðåæèì ( | δρ | < ρ 0 , | δp | < p 0 ) . Âíà÷àëå ïîïûòàåìñÿ êà÷åñòâåííî
îïèñàòü îñíîâíûå ÷åðòû íåëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, íå ïðèáåãàÿ ê ìàòåìàòèêå.
Íàèáîëåå ïðîñòî ýòî ñäåëàòü, åñëè îáðàòèòüñÿ ê âëèÿíèþ ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè (ôîð-
ìóëà 6.36). Åñëè âñïîìíèòü, ÷òî ñêîðîñòü çâóêà c = dp / dρ , òî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ðàç-
ëè÷íûå ÷àñòè âîëíû ìîãóò äâèãàòüñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè.
        Íà ðèñ. 6.8 èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü (6.36) è äëÿ òðåõ çíà÷åíèé ïëîòíîñòè
ρ 0 , ρ1 è ρ 2 ïðîâåäåíû êàñàòåëüíûå ê ãðàôèêó ôóíêöèè p = p (ρ) , óãëîâûå êîýôôè-
öèåíòû êîòîðûõ ðàâíû êâàäðàòó ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Èç ýòîãî ãðàôè-

Страницы