Колебания и волны. Алешкевич В.А - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
134
íåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ìû èñïîëüçóåì íàèáîëåå óïðîùåííûé ïîäõîä ê àíàëèçó
ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (6.40)(6.41). Îãîâîðèìñÿ ñðàçó, ÷òî ïîñêîëüêó óðàâíå-
íèÿ Ýéëåðà îïèñûâàþò ïîâåäåíèå íåâÿçêîé ñðåäû, òî ìû ñìîæåì ïðîàíàëèçèðîâàòü ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå âîëíû ëèøü íà ïåðâûõ äâóõ ýòàïàõ.
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ â (6.41) â âèäå:
),(
,
d
d
0
00
δρ⋅
∂
∂
−=
∂
∂
ρ+
∂
∂δρ
∂
∂
⋅⋅δρ−
∂
∂
⋅ρ−δρ−=
∂
∂δ
+
∂
∂
ρ
v
v
v
v
v
v
vv
xxt
xxtx
p
t
(6.44)
ãäå âñå íåëèíåéíûå ÷ëåíû, ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ìåíüøèå ëèíåéíûõ, ïåðåíåñåíû â ïðà-
âûå ÷àñòè óðàâíåíèé.
Ñ ó÷åòîì ìàëîñòè íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé â íåëèíåéíîé àêóñòè-
êå ðàçðàáîòàíû ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ, ñìûñë êîòîðûõ ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè
çíà÷èòåëüíî áîëåå ïðîñòûõ óðàâíåíèé, èìåþùèõ â ðÿäå ñëó÷àåâ íåñëîæíûå àíàëèòè-
÷åñêèå ðåøåíèÿ. Îäíî èç òàêèõ óðàâíåíèé ìû ñåé÷àñ è ïîëó÷èì, îäíàêî ñäåëàåì ýòî
ïðåäåëüíî ïðîñòî. Äëÿ ýòîãî, âî-ïåðâûõ, ìû îãðàíè÷èìñÿ âíà÷àëå ëèøü êèíåìàòè÷åñ-
êîé íåëèíåéíîñòüþ, à, âî-âòîðûõ, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìåæäó ñêîðîñòüþ v è âîçìó-
ùåíèåì
δρ
ñóùåñòâóåò òàêàÿ æå ñâÿçü, êàê è â ëèíåéíîì ðåæèìå:
,
000
cp
p v
=
ρ
δρ
=
δ
=ε−
(6.45)
ãäå ε  îòíîñèòåëüíàÿ äåôîðìàöèÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ãàçà (
0<ε
ïðè ñæàòèè è
0>ε
ïðè ðàçðåæåíèè). Ýòà ñâÿçü ïîçâîëÿåò íàì îãðàíè÷èòüñÿ îäíèì èç äâóõ óðàâíåíèé ãèä-
ðîäèíàìèêè. Ïðåäïî÷òèòåëüíåå, íàïðèìåð, âîñïîëüçîâàòüñÿ áîëåå ïðîñòûì óðàâíåíèåì
íåïðåðûâíîñòè. Ïðè ïîäñòàíîâêå âî âòîðîå óðàâíåíèå (6.44) âîçìóùåíèÿ ïëîòíîñòè
δρ
,
ïðîïîðöèîíàëüíîãî, ñîãëàñíî (6.45), ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè v, ïîëó÷àåì íåëèíåé-
íîå óðàâíåíèå:
.2
0
xx
c
t ∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂ v
v
vv
(6.46)
Çàìåòèì, ÷òî â ëèíåéíîì ðåæèìå, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ðàâíà íóëþ, åãî
ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà:
)/(),(
0
cxtftx −=v
, (6.47)
îïèñûâàþùàÿ áåãóùóþ ñî ñêîðîñòüþ c
0
áåç èñêàæåíèÿ âäîëü îñè Ox àêóñòè÷åñêóþ âîëíó.
 íåëèíåéíîì ðåæèìå ñèòóàöèÿ óñëîæíÿåòñÿ.  ñàìîì äåëå, ïåðåïèøåì óðàâ-
íåíèå (6.46) â âèäå
.0)2(
0
=
∂
∂
++
∂
∂
x
c
t
v
v
v
(6.48)
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñêîðîñòü ó÷àñòêà âîëíû ðàâíà
v2
0
+= cc (6.49)
è çàâèñèò îò ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè ÷àñòèö.
134                                                                Êîëåáàíèÿ è âîëíû

íåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ìû èñïîëüçóåì íàèáîëåå óïðîùåííûé ïîäõîä ê àíàëèçó
ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (6.40)–(6.41). Îãîâîðèìñÿ ñðàçó, ÷òî ïîñêîëüêó óðàâíå-
íèÿ Ýéëåðà îïèñûâàþò ïîâåäåíèå íåâÿçêîé ñðåäû, òî ìû ñìîæåì ïðîàíàëèçèðîâàòü ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå âîëíû ëèøü íà ïåðâûõ äâóõ ýòàïàõ.
       Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ â (6.41) â âèäå:
                        ∂v ∂δp         dv          ∂v           ∂v
                    ρ0     +     = −δρ    − ρ 0v ⋅    − δρ ⋅v ⋅    ,
                        ∂t    ∂x       dt          ∂x           ∂x
                    ∂δρ       ∂v     ∂                                    (6.44)
                         + ρ0    = − (v ⋅ δρ),
                     ∂t       ∂x    ∂x
ãäå âñå íåëèíåéíûå ÷ëåíû, ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ìåíüøèå ëèíåéíûõ, ïåðåíåñåíû â ïðà-
âûå ÷àñòè óðàâíåíèé.
        Ñ ó÷åòîì ìàëîñòè íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé â íåëèíåéíîé àêóñòè-
êå ðàçðàáîòàíû ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ, ñìûñë êîòîðûõ ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè
çíà÷èòåëüíî áîëåå ïðîñòûõ óðàâíåíèé, èìåþùèõ â ðÿäå ñëó÷àåâ íåñëîæíûå àíàëèòè-
÷åñêèå ðåøåíèÿ. Îäíî èç òàêèõ óðàâíåíèé ìû ñåé÷àñ è ïîëó÷èì, îäíàêî ñäåëàåì ýòî
ïðåäåëüíî ïðîñòî. Äëÿ ýòîãî, âî-ïåðâûõ, ìû îãðàíè÷èìñÿ âíà÷àëå ëèøü êèíåìàòè÷åñ-
êîé íåëèíåéíîñòüþ, à, âî-âòîðûõ, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìåæäó ñêîðîñòüþ v è âîçìó-
ùåíèåì δρ ñóùåñòâóåò òàêàÿ æå ñâÿçü, êàê è â ëèíåéíîì ðåæèìå:
                                         δp δρ v
                                −ε =       =   = ,                             (6.45)
                                         p0 ρ 0 c0
ãäå ε — îòíîñèòåëüíàÿ äåôîðìàöèÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ãàçà ( ε < 0 ïðè ñæàòèè è ε > 0
ïðè ðàçðåæåíèè). Ýòà ñâÿçü ïîçâîëÿåò íàì îãðàíè÷èòüñÿ îäíèì èç äâóõ óðàâíåíèé ãèä-
ðîäèíàìèêè. Ïðåäïî÷òèòåëüíåå, íàïðèìåð, âîñïîëüçîâàòüñÿ áîëåå ïðîñòûì óðàâíåíèåì
íåïðåðûâíîñòè. Ïðè ïîäñòàíîâêå âî âòîðîå óðàâíåíèå (6.44) âîçìóùåíèÿ ïëîòíîñòè δρ ,
ïðîïîðöèîíàëüíîãî, ñîãëàñíî (6.45), ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè v, ïîëó÷àåì íåëèíåé-
íîå óðàâíåíèå:
                               ∂v      ∂v       ∂v                            (6.46)
                                  + c0    = −2v    .
                               ∂t      ∂x       ∂x
        Çàìåòèì, ÷òî â ëèíåéíîì ðåæèìå, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ðàâíà íóëþ, åãî
ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà:
                                v ( x , t ) = f (t − x / c 0 ) ,               (6.47)
îïèñûâàþùàÿ áåãóùóþ ñî ñêîðîñòüþ c0 áåç èñêàæåíèÿ âäîëü îñè Ox àêóñòè÷åñêóþ âîëíó.
        Â íåëèíåéíîì ðåæèìå ñèòóàöèÿ óñëîæíÿåòñÿ. Â ñàìîì äåëå, ïåðåïèøåì óðàâ-
íåíèå (6.46) â âèäå
                               ∂v               ∂v
                                  + (c 0 + 2v )    = 0.                        (6.48)
                               ∂t               ∂x
        Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñêîðîñòü ó÷àñòêà âîëíû ðàâíà
                                       c = c 0 + 2v                            (6.49)
è çàâèñèò îò ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè ÷àñòèö.

Страницы