Колебания и волны. Алешкевич В.А - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

135
Ëåêöèÿ 6
Äëÿ ôðàãìåíòà ãàðìîíè-
÷åñêîé âîëíû ãèäðîäèíàìè÷åñêîé
ñêîðîñòè, èçîáðàæåííîãî íà
ðèñ.6.10, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèíóñî-
èäàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè
âäîëü îñè Ox òðàíñôîðìèðóåòñÿ â
ïèëîîáðàçíîå. Ñëåäîâàòåëüíî, îáà
ìåõàíèçìà íåëèíåéíîñòè ñïîñîá-
ñòâóþò òðàíñôîðìàöèè ãàðìîíè-
÷åñêîé âîëíû â ïèëîîáðàçíóþ.
Åñëè áû ìû ñ ñàìîãî íà-
÷àëà ó÷ëè äåéñòâèå îáîèõ ìåõà-
íèçìîâ íåëèíåéíîñòè, òî èç óðàâíåíèé (6.44) è (6.40) ìû áû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå
0)(
0
=
∂
∂
β++
∂
∂
x
c
t
v
v
v
, (6.50)
ãäå
2/)1( +γ=β
 íåëèíåéíûé ïàðàìåòð, îòðàæàþùèé äåéñòâèå îáîèõ ìåõàíèçìîâ
íåëèíåéíîñòè. Ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (6.49) íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé,
ïîñêîëüêó â îòñóòñòâèå ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè
)1( =γ
íåëèíåéíûé ïàðàìåòð
1=β
,
è íà ñàìîì äåëå v+=
0
cc
. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ìû èñïîëüçîâàëè ñâÿçü â âèäå (6.45),
êîòîðàÿ äëÿ âîëí êîíå÷íîé àìïëèòóäû íå ÿâëÿåòñÿ âåðíîé.
Ïî àíàëîãèè ñ (6.47) ìû ìîæåì çàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.50) â âèäå:
β+
−=
v
v
0
),(
c
x
tftx
. (6.51)
Ýòî ðåøåíèå îïèñûâàåò ýâîëþöèþ ïðîñòûõ (ðèìàíîâûõ) âîëí. Òåïåðü íå ñî-
ñòàâëÿåò òðóäà êîëè÷åñòâåííî îïèñàòü òðàíñôîðìàöèþ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â ïèëîîá-
ðàçíóþ.
Ïóñòü íà âõîäå â ñðåäó (ïðè x=0)
ttft ω== sin)(),0(
0
vv . (6.52)
Òîãäà íà ðàññòîÿíèè x
.sin
2
0
0
⋅
β
+τω= vvv x
c
(6.53)
Çäåñü
0
/
cxt −=τ
 òàê íàçûâàåìîå ëîêàëüíîå âðåìÿ, îòñ÷èòûâàåìîå íàáëþäàòåëåì,
íàõîäÿùèìñÿ íà ðàññòîÿíèè x îò íà÷àëà êîîðäèíàò, îò ìîìåíòà âðåìåíè x/c
0
.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà çàâèñèìîñòè (6.53) ïåðåïèøåì åå â ÿâíîì âèäå
,arcsin
0íë0
v
v
v
v
⋅−=ωτ
l
x
(6.54)
ãäå
βω
=
0
2
0
íë
v
c
l
(6.55)
v
0
v
0
x
v
c
00
+2v
c
00
 2
v
c
0
0
Ðèñ. 6.10.
Ëåêöèÿ 6                                                                           135
         Äëÿ ôðàãìåíòà ãàðìîíè-        v
÷åñêîé âîëíû ãèäðîäèíàìè÷åñêîé
ñêîðîñòè, èçîáðàæåííîãî íà                            c0+2v0
                                      v0
ðèñ. 6.10, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèíóñî-
èäàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè
âäîëü îñè Ox òðàíñôîðìèðóåòñÿ â                            c0
                                       0
ïèëîîáðàçíîå. Ñëåäîâàòåëüíî, îáà                                                       x
ìåõàíèçìà íåëèíåéíîñòè ñïîñîá-
ñòâóþò òðàíñôîðìàöèè ãàðìîíè-
                                     –v0
÷åñêîé âîëíû â ïèëîîáðàçíóþ.                                       c0 – 2v0
         Åñëè áû ìû ñ ñàìîãî íà-
                                                        Ðèñ. 6.10.
÷àëà ó÷ëè äåéñòâèå îáîèõ ìåõà-
íèçìîâ íåëèíåéíîñòè, òî èç óðàâíåíèé (6.44) è (6.40) ìû áû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå
                                ∂v                 ∂v
                                    + (c 0 + β v )    =0,                  (6.50)
                                 ∂t                ∂x
ãäå β = ( γ + 1) / 2 — íåëèíåéíûé ïàðàìåòð, îòðàæàþùèé äåéñòâèå îáîèõ ìåõàíèçìîâ
íåëèíåéíîñòè. Ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (6.49) íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé,
ïîñêîëüêó â îòñóòñòâèå ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè ( γ = 1) íåëèíåéíûé ïàðàìåòð β = 1 ,
è íà ñàìîì äåëå c = c 0 + v . Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ìû èñïîëüçîâàëè ñâÿçü â âèäå (6.45),
êîòîðàÿ äëÿ âîëí êîíå÷íîé àìïëèòóäû íå ÿâëÿåòñÿ âåðíîé.
        Ïî àíàëîãèè ñ (6.47) ìû ìîæåì çàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.50) â âèäå:
                                                     x     
                            v ( x, t ) = f  t −            .        (6.51)
                                                 c 0 + β v  
        Ýòî ðåøåíèå îïèñûâàåò ýâîëþöèþ ïðîñòûõ (ðèìàíîâûõ) âîëí. Òåïåðü íå ñî-
ñòàâëÿåò òðóäà êîëè÷åñòâåííî îïèñàòü òðàíñôîðìàöèþ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â ïèëîîá-
ðàçíóþ.
        Ïóñòü íà âõîäå â ñðåäó (ïðè x = 0)
                                v (0, t ) = f (t ) = v 0 sin ωt .                 (6.52)
        Òîãäà íà ðàññòîÿíèè x
                                                 β      
                               v = v 0 sin ω τ + 2 x ⋅v .               (6.53)
                                              c0      
                                                          
Çäåñü τ = t − x / c0 — òàê íàçûâàåìîå ëîêàëüíîå âðåìÿ, îòñ÷èòûâàåìîå íàáëþäàòåëåì,
íàõîäÿùèìñÿ íà ðàññòîÿíèè x îò íà÷àëà êîîðäèíàò, îò ìîìåíòà âðåìåíè x/c0.
       Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà çàâèñèìîñòè (6.53) ïåðåïèøåì åå â ÿâíîì âèäå
                                        v    x v
                            ωτ = arcsin −       ⋅ ,                        (6.54)
                                       v 0 l íë v 0
ãäå
                                                  c 02
                                        l íë =                                    (6.55)
                                                 ωv 0 β

Страницы