Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 35 стр.

Ëåêöèÿ 2                                                               35

áîëüøå âåñà æèäêîñòè: ∆F 2 = ρgHS 2 > mg . Â ñèòóàöèè (á), íàîáîðîò,
∆F1 = ρgHS1 < mg . Ìåæäó òåì, ïðè âçâåøèâàíèè ñîñóäîâ âåñû ïîêàæóò îäè-
íàêîâûé ðåçóëüòàò. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ìû ñòîëêíóëèñü ñ ïàðàäîêñîì. Ïàðà-
äîêñ, îäíàêî, ðàçðåøàåòñÿ ïðîñòî, åñëè ìû ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî âåñû
èçìåðÿþò ñèëó äàâëåíèÿ ñîñóäà íà ÷àøêó âåñîâ, ðàâíóþ òîé ñèëå, ñ êîòî-
ðîé æèäêîñòü äåéñòâóåò íà âåñü ñîñóä, âêëþ÷àÿ äåéñòâèå íà åãî íàêëîííûå
áîêîâûå ñòåíêè. Â îáåèõ ñèòóàöèÿõ ñóììà âñåõ ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ ñèë îäè-
íàêîâà è ðàâíà âåñó æèäêîñòè mg.


       Ðàâíîâåñèå ñæèìàåìîé æèäêîñòè.
       Ïðè âíóòðåííèõ íàïðÿæåíèÿõ ïëîòíîñòü ãàçîâ íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿí-
íîé. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè (p = p(ρ)),
ïðè÷åì âèä ýòîé ôóíêöèè, êàê áóäåò ïî-
êàçàíî íèæå, çàäàåòñÿ óñëîâèÿìè, ïðè êî-
òîðûõ íàõîäèòñÿ ãàç. Ïîýòîìó â ìåõàíèêå        x
ñïëîøíûõ ñðåä â ýòèõ ñëó÷àÿõ îïåðèðóþò
ñ ïëîòíîñòüþ ñèëû F, òî åñòü ñ ñèëîé, ïðè-         x    p
ëîæåííîé ê åäèíèöå ìàññû, êîòîðàÿ ñâÿ-
çàíà ñ ñèëîé F â (2.7) ñîîòíîøåíèåì                     p        1
                   F = ρF .         (2.21)                 x1
Òîãäà óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ (2.7) ïðèìåò âèä                              z
                1
                  grad p = F .        (2.22)              0
                ρ
                                                      y
 ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà âõîäÿò äàâ-
ëåíèå è ïëîòíîñòü, ÿâëÿþùèåñÿ íåèçâåñ-               Ðèñ. 2.15
òíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò, à ïðàâàÿ
÷àñòü îáû÷íî èçâåñòíà.
         ïîëå ñèëû òÿæåñòè F = g = const.  ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòÿìè ðàâ-
íûõ äàâëåíèé è ïëîòíîñòåé áóäóò ãîðèçîíòàëüíûå ïëîñêîñòè, äâå èç êîòîðûõ
p(x1) = p1 è p(x) = p èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.15. Åñëè ìû ââåäåì âñïîìîãàòåëü-
íóþ ôóíêöèþ
                                       p
                                            dp
                              P(x) =   ∫     ρ
                                               ,                     (2.23)
                                       p1

òî (2.22) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå, àíàëîãè÷íîì (2.7):
                                  1 dp dP
                                       =    =F .                     (2.24)
                                  ρ dx   dx
Ââîäÿ äàëåå äëÿ åäèíèöû ìàññû ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ U1, ñ êîòîðîé âíå-
øíÿÿ ñèëà ñâÿçàíà ñîîòíîøåíèåì
                                                   dU1
                                   F (x ) = −          ,             (2.25)
                                                    dx
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå (2.9):
                       d
                       dx
                          (P + U1 ) = 0 , èëè P + U1 = const .       (2.26)