Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 45 стр.

Ëåêöèÿ 3                                                                  45

ãóò îáåñïå÷èòü ñèëû äàâëåíèÿ f i = −p i n , ïîêàçàííûå íà ðèñ. 3.2 ìàëåíüêèìè
ñòðåëêàìè. Èç ðèñóíêà ÿñíî, ÷òî ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê S2 äàâëåíèå â æèä-
êîñòè ïàäàåò, à çàòåì âîçðàñòàåò.
Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè ñðàâíèòü                     v2
óðîâíè h1 è h2 æèäêîñòè â ìàíî-
ìåòðè÷åñêèõ ñòåêëÿííûõ òðóáêàõ,
âïàÿííûõ â ãîðèçîíòàëüíóþ òðóá-
                                            v1
êó âáëèçè ñå÷åíèé S1 è S2. Ïîñêîëü-                      p2
                                            1
                                             p
êó p1 = ρgh 1 , p 2 = ρgh 2 , òî p1>p2,
òàê êàê h1>h2. Íà ðèñ. 3.3 èçîáðàæå-    S1           S2                    x
íî ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé è äàâ-
                                                    Ðèñ. 3.3
ëåíèé âäîëü îñè òðóáêè (ñì. ðèñ. 3.2).
        Äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ òå÷åíèÿ æèäêîñòè ðàçîáüåì ïîòîê æèä-
êîñòè ïî òðóáå íà ýëåìåíòàðíûå òðóáêè òîêà, îáðàçóåìûå ñåìåéñòâîì ëèíèé
òîêà.  ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ýëåìåíòàðíîé òðóáêè òîêà ñêîðîñòü ÷àñòèö ïðè-
áëèçèòåëüíî îäèíàêîâà, è ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò àíàëèç
òå÷åíèÿ æèäêîñòè.
        Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó ñêîðîñòüþ è äàâëåíèåì, êà÷åñòâåííî îòîáðàæåí-
íóþ íà ðèñ. 3.3. Ïðè äâèæåíèè ÷àñòèö âîäû âäîëü îñåâîé òðóáêè ñóììà ñèë,
ïðèëîæåííûõ ê åäèíèöå îáúåìà (ñì. (2.5)), îáåñïå÷èâàåò åãî óñêîðåíèå.  ñîîò-
âåòñòâèè ñî 2-ì çàêîíîì Íüþòîíà ìîæíî çàïèñàòü
                                  dv x     ∂p
                                  ρ    = −    + Fx ,                   (3.3)
                                   dt      ∂x
ãäå Fx — ïëîòíîñòü ñèëû, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü Í/ì3.
        Îòìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèå (3.3) íå âõîäÿò ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, çàâè-
ñÿùèå îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ýëåìåíòà æèäêîñòè. Âïîñëåäñòâèè ìû ó÷òåì èõ
âëèÿíèå è âûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Èçìåíå-
íèå ñêîðîñòè ÷àñòèöû dvx è ñâÿçàííîå ñ íèì óñêîðåíèå ìîæåò ïðîèñõîäèòü è
ïðè ñòàöèîíàðíîì äâèæåíèè ÷àñòèöû îò øèðîêîãî ñå÷åíèÿ ê óçêîìó (èëè
íàîáîðîò), è ïðè íåñòàöèîíàðíîì èçìåíåíèè ñêîðîñòè òå÷åíèÿ (íàïðèìåð,
ïðè ìåäëåííîì óâåëè÷åíèè èëè îñëàáëåíèè íàïîðà âîäû). Ïîýòîìó â îáùåì
ñëó÷àå ñêîðîñòü ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íå òîëüêî êîîðäèíàòû x, íî è
âðåìåíè t:
                                   ∂v x      ∂v x
                              dv x =    dt +      dx ,             (3.4)
                                    ∂t        ∂x
ãäå dx = vxdt – ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ÷àñòèöåé çà âðåìÿ dt. Ïîäñòàâëÿÿ
(3.4) â (3.3), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ýéëåðà
                               ∂v      ∂v x     ∂p
                             ρ x + v x       =−    + Fx ,              (3.5)
                               ∂t       ∂x      ∂x
îïèñûâàþùåå îäíîìåðíîå òå÷åíèå íåñæèìàåìîé íåâÿçêîé æèäêîñòè. Ïðè ñòà-
öèîíàðíîì òå÷åíèè æèäêîñòè ïî ãîðèçîíòàëüíîé òðóáå ñêîðîñòü íå çàâèñèò îò
          ∂v x    
âðåìåíè       = 0 , âíåøíèå ñèëû îòñóòñòâóþò (F =0).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíå-
            ∂t                                   x


íèå Ýéëåðà ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä