Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

47
Ëåêöèÿ 3
Åñëè ýëåìåíò æèäêîñòè ñìåñòèë-
ñÿ âíèç íà ðàññòîÿíèå dl , òî îí îïóñ-
òèëñÿ íà âûñîòó dh < 0, ïðè ýòîì
cosα=−
dh
dl
. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå
cosα
â (3.11) è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî
2
v
d
d
2
1
d
dv
v
ll
=
, íàõîäèì
ρρ
d
d
vdp
d
g
dh
dlll
2
2
0++ =
. (3.12)
Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè
ρ=const
,
è ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òðàíñôîðìèðó-
åòñÿ ê âèäó
d
d
v
pgh
l
ρ
ρ
2
2
0++
=
. (3.13)
Èíòåãðèðóÿ (3.13) âäîëü òðóáêè òîêà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè
ρ
ρ
v
pghconst
2
2
++ =
. (3.14)
Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ñòàöèîíàðíîå òå÷åíèå íåñæèìàåìîé æèä-
êîñòè (èíîãäà óïîòðåáëÿþò òåðìèí «èäåàëüíàÿ æèäêîñòü») è èãðàåò ôóíäà-
ìåíòàëüíóþ ðîëü â ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. Åñëè íàì èçâåñòíû
äàâëåíèå p
1
è ñêîðîñòü v
1
â íåêîòîðîì ñå÷åíèè òðóáêè òîêà, íàõîäÿùåìñÿ íà
âûñîòå h
1
, òî â ëþáîì äðóãîì ñå÷åíèè íà âûñîòå h âåëè÷èíû p è v ñâÿçàíû
ñîîòíîøåíèåì
p
v
gh p
v
gh++=++
ρ
ρ
ρ
ρ
2
1
1
2
1
22
. (3.15)
Äàâëåíèå p  ýòî ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, èçìåðÿåìîå ìàíîìåòðîì,
òðóáêà êîòîðîãî îðèåíòèðîâàíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèè òîêà, ëèáî äâèæó-
ùèìñÿ âìåñòå ñ æèäêîñòüþ. Âåëè÷èíà
ρv
2
2
íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêèì äàâëåíèåì,
ñìûñë êîòîðîãî áóäåò ðàñêðûò ïîçäíåå.
Çàìåòèì, ÷òî â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ðà-
âåíñòâî (3.15) îïèñûâàåò ãèäðîñòàòè÷åñ-
êîå ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé.
Óðàâíåíèå Áåðíóëëè ìîæåò áûòü
òàêæå ïîëó÷åíî íà îñíîâå áàëàíñà ýíåð-
ãèè. Â îòñóòñòâèå ñèë âÿçêîñòè ïðèðàùåíèå
ñóììàðíîé (ïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñ-
êîé) ýíåðãèè ìàññû âîäû, íàõîäÿùåéñÿ
â òðóáêå òîêà ìåæäó ñå÷åíèÿìè S
1
è S
2
(ðèñ. 3.5), ðàâíî ðàáîòå ñèë äàâëåíèÿ. Èç
Ðèñ. 3.4
Ðèñ. 3.5
dl
α
dh
Fg =
ρ
v dt
v
v
S
v dt
1
1
2
2
2
S
h
h
1
1
2
Ëåêöèÿ 3                                                                              47

        Åñëè ýëåìåíò æèäêîñòè ñìåñòèë-
ñÿ âíèç íà ðàññòîÿíèå dl , òî îí îïóñ-
òèëñÿ íà âûñîòó dh < 0, ïðè ýòîì
                                                                               dl
          dh
cos α = −    . Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå cos α
          dl                                  dh
â (3.11) è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî
    dv 1 d 2
v     =     v , íàõîäèì
    dl 2 dl                                                            α
            d v2   dp      dh
        ρ        +    + ρg    = 0.   (3.12)
            dl 2   dl      dl                                F = ρg
Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ρ = const ,
è ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òðàíñôîðìèðó-                           Ðèñ. 3.4
åòñÿ ê âèäó

                                d  ρv 2           
                                       + p + ρgh = 0 .                          (3.13)
                                dl  2             
Èíòåãðèðóÿ (3.13) âäîëü òðóáêè òîêà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè
                                ρv 2
                                     + p + ρgh = const .            (3.14)
                                 2
       Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ñòàöèîíàðíîå òå÷åíèå íåñæèìàåìîé æèä-
êîñòè (èíîãäà óïîòðåáëÿþò òåðìèí «èäåàëüíàÿ æèäêîñòü») è èãðàåò ôóíäà-
ìåíòàëüíóþ ðîëü â ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. Åñëè íàì èçâåñòíû
äàâëåíèå p1 è ñêîðîñòü v1 â íåêîòîðîì ñå÷åíèè òðóáêè òîêà, íàõîäÿùåìñÿ íà
âûñîòå h1, òî â ëþáîì äðóãîì ñå÷åíèè íà âûñîòå h âåëè÷èíû p è v ñâÿçàíû
ñîîòíîøåíèåì
                              ρv 2              ρv 12
                              p+   + ρgh = p1 +       + ρgh 1 . (3.15)
                               2                 2
       Äàâëåíèå p — ýòî ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, èçìåðÿåìîå ìàíîìåòðîì,
òðóáêà êîòîðîãî îðèåíòèðîâàíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèè òîêà, ëèáî äâèæó-
                                     ρv 2                    S1
ùèìñÿ âìåñòå ñ æèäêîñòüþ. Âåëè÷èíà
                                       2       h1                      v1 dt
íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêèì äàâëåíèåì,
ñìûñë êîòîðîãî áóäåò ðàñêðûò ïîçäíåå.
                                                                  v1
Çàìåòèì, ÷òî â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ðà-
âåíñòâî (3.15) îïèñûâàåò ãèäðîñòàòè÷åñ-
êîå ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé.
        Óðàâíåíèå Áåðíóëëè ìîæåò áûòü
                                                                               S2
òàêæå ïîëó÷åíî íà îñíîâå áàëàíñà ýíåð-
                                               h2
ãèè. Â îòñóòñòâèå ñèë âÿçêîñòè ïðèðàùåíèå
ñóììàðíîé (ïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñ-                                                   v2
êîé) ýíåðãèè ìàññû âîäû, íàõîäÿùåéñÿ                                       v2 dt
â òðóáêå òîêà ìåæäó ñå÷åíèÿìè S1 è S2
(ðèñ. 3.5), ðàâíî ðàáîòå ñèë äàâëåíèÿ. Èç                         Ðèñ. 3.5

Страницы