Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

49
Ëåêöèÿ 3
íå çíàåì, êàê âûãëÿäÿò ýòè òðóáêè, îäíàêî âñå îíè íà÷èíàþòñÿ íà ñâîáîä-
íîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è çàêàí÷èâàþòñÿ íà âûõîäíîì òîðöå ñëèâíîé òðóá-
êè. Åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ òðóáêè S çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïëîùàäè ñâîáîä-
íîé ïîâåðõíîñòè S
0
, òî ïðè èñòå÷åíèè æèäêîñòè åå ïîâåðõíîñòü áóäåò îñòà-
âàòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé è îïóñêàòüñÿ ñ íåêîòîðîé ìàëîé ñêîðîñòüþ v
0
. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå Áåðíóëëè (3.14), áóäåò îäè-
íàêîâà äëÿ âñåõ òðóáîê òîêà:
const
v
pgH=++
ρ
ρ
0
2
0
2
.
Çäåñü H  âûñîòà ñòîëáà æèäêîñòè íàä ñëèâíîé òðóáêîé. Ïîýòîìó ñêîðîñòü
èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè v îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
ρ
ρ
ρ
v
p
v
pgH
2
0
0
2
0
22
+= ++
, (3.17)
ãäå p
0
 àòìîñôåðíîå äàâëåíèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè è ó ñëèâíîé òðóáêè.
Ïîñêîëüêó S << S
0
, òî èç óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè (3.2) ñëåäóåò, ÷òî v
0
<< v. Ñ
ó÷åòîì ýòîãî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
vgH= 2
. (3.18)
Ýòà ôîðìóëà íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Òîððè÷åëëè. Ñðàçó áðîñàåòñÿ â
ãëàçà, ÷òî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè èç ñîñóäà òàêàÿ æå, êàê è ïðè åå
ñâîáîäíîì ïàäåíèè ñ âûñîòû H.  ýòîì íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ïîñêîëüêó
âÿçêîñòüþ ìû ïðåíåáðåãëè, à ðàáîòà ñèë àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ íàä òðóá-
êîé òîêà ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó, êàê è ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè òåë â îòñóò-
ñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî ðà-
áîòå ñèëû òÿæåñòè:
ρ
ρ
v
gH
2
2
=
.
Ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû Òîð-
ðè÷åëëè ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè
íà âûõîäíóþ òðóáêó íàäåòü êóñîê ãèá-
êîãî øëàíãà è âûòåêàþùóþ ñòðóþ âîäû
íàïðàâèòü ââåðõ ïîä íåáîëüøèì óãëîì
ê âåðòèêàëè (ðèñ. 3.7). Ñòðóÿ ïîäíèìåò-
ñÿ ïðàêòè÷åñêè äî óðîâíÿ ïîâåðõíîñòè
æèäêîñòè. Åñëè æå ñòðóþ æèäêîñòè íà-
ïðàâèòü âåðòèêàëüíî ââåðõ, òî ïàäàþ-
ùèå âíèç ÷àñòèöû áóäóò òîðìîçèòü ïîä-
íèìàþùèåñÿ, è ñòðóÿ íå ñìîæåò ïîä-
íÿòüñÿ íà âûñîòó H.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî òðóá-
êè òîêà æèäêîñòè ðàñïîëîæåíû ïðåèìó-
ùåñòâåííî áëèæå ê ñòåíêå ñîñóäà ñ îò-
âåðñòèåì, â òî âðåìÿ êàê ó ïðîòèâîïî-
ëîæíîé (ëåâîé íà ðèñ. 3.8) ñòåíêè æèä-
êîñòü ïðàêòè÷åñêè ìàëîïîäâèæíà. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî íà ëåâóþ ñòåíêó äåéñòâó-
þò ñèëû äàâëåíèÿ, êîòîðûå ëåãêî
Ðèñ. 3.7
Ðèñ. 3.8
F
Ëåêöèÿ 3                                                                49
íå çíàåì, êàê âûãëÿäÿò ýòè òðóáêè, îäíàêî âñå îíè íà÷èíàþòñÿ íà ñâîáîä-
íîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è çàêàí÷èâàþòñÿ íà âûõîäíîì òîðöå ñëèâíîé òðóá-
êè. Åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ òðóáêè S çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïëîùàäè ñâîáîä-
íîé ïîâåðõíîñòè S0, òî ïðè èñòå÷åíèè æèäêîñòè åå ïîâåðõíîñòü áóäåò îñòà-
âàòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé è îïóñêàòüñÿ ñ íåêîòîðîé ìàëîé ñêîðîñòüþ v0. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå Áåðíóëëè (3.14), áóäåò îäè-
íàêîâà äëÿ âñåõ òðóáîê òîêà:
                               ρv 20
                          const =    + p 0 + ρgH .
                                2
Çäåñü H — âûñîòà ñòîëáà æèäêîñòè íàä ñëèâíîé òðóáêîé. Ïîýòîìó ñêîðîñòü
èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè v îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
                           ρv 2        ρv 20
                                + p0 =       + p 0 + ρgH ,            (3.17)
                            2           2
ãäå p0 – àòìîñôåðíîå äàâëåíèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè è ó ñëèâíîé òðóáêè.
Ïîñêîëüêó S << S0, òî èç óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè (3.2) ñëåäóåò, ÷òî v0 << v. Ñ
ó÷åòîì ýòîãî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
                                  v = 2gH .                        (3.18)
        Ýòà ôîðìóëà íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Òîððè÷åëëè. Ñðàçó áðîñàåòñÿ â
ãëàçà, ÷òî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè èç ñîñóäà òàêàÿ æå, êàê è ïðè åå
ñâîáîäíîì ïàäåíèè ñ âûñîòû H.  ýòîì íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ïîñêîëüêó
âÿçêîñòüþ ìû ïðåíåáðåãëè, à ðàáîòà ñèë àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ íàä òðóá-
êîé òîêà ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó, êàê è ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè òåë â îòñóò-
ñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî ðà-
áîòå ñèëû òÿæåñòè:
              ρv 2
                   = ρgH .
               2
       Ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû Òîð-
ðè÷åëëè ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè
íà âûõîäíóþ òðóáêó íàäåòü êóñîê ãèá-
êîãî øëàíãà è âûòåêàþùóþ ñòðóþ âîäû
íàïðàâèòü ââåðõ ïîä íåáîëüøèì óãëîì
ê âåðòèêàëè (ðèñ. 3.7). Ñòðóÿ ïîäíèìåò-
ñÿ ïðàêòè÷åñêè äî óðîâíÿ ïîâåðõíîñòè                  Ðèñ. 3.7
æèäêîñòè. Åñëè æå ñòðóþ æèäêîñòè íà-
ïðàâèòü âåðòèêàëüíî ââåðõ, òî ïàäàþ-
ùèå âíèç ÷àñòèöû áóäóò òîðìîçèòü ïîä-
íèìàþùèåñÿ, è ñòðóÿ íå ñìîæåò ïîä-
íÿòüñÿ íà âûñîòó H.                        F
       Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî òðóá-
êè òîêà æèäêîñòè ðàñïîëîæåíû ïðåèìó-
ùåñòâåííî áëèæå ê ñòåíêå ñîñóäà ñ îò-
âåðñòèåì, â òî âðåìÿ êàê ó ïðîòèâîïî-
ëîæíîé (ëåâîé íà ðèñ. 3.8) ñòåíêè æèä-
êîñòü ïðàêòè÷åñêè ìàëîïîäâèæíà. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî íà ëåâóþ ñòåíêó äåéñòâó-
þò ñèëû äàâëåíèÿ, êîòîðûå ëåãêî                       Ðèñ. 3.8

Страницы