Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ðèñóíêà âèäíî, ÷òî çà âðåìÿ dt ýëåìåíò æèäêîñòè ìàññîé dm S v dt S v dt==ρρ
11 2 2
îïóñòèëñÿ ñ óðîâíÿ h
1
íà óðîâåíü h
2
, à åãî ñêîðîñòü óâåëè÷èëàñü îò âåëè÷è-
íû v
1
äî v
2
.
Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî
()
dE dm
vv
Sv Sv dt
Ê
=−
=−
2
2
1
2
22
3
11
3
22
1
2
ρ
.
Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñîñòàâëÿåò
()
dE dm g h h g S v h S v h dt
Ï
=⋅ −= −
()
21 222111
ρ
.
Ðàáîòà ñèë äàâëåíèÿ
dA p S v dt p S v dt=−
111 2 2 2
.
Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà â âèäå
dE dE dA
ÊÏ
+=,
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè:
p
v
gh p
v
gh
1
1
2
12
2
2
2
22
++ =++
ρ
ρ
ρ
ρ
. (3.16)
Âûâîä óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè íà îñíîâå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà äåëàåò
áîëåå ïîíÿòíûì ôèçè÷åñêèé ñìûñë âõîäÿùèõ â íåãî ÷ëåíîâ. Òàê, ñòàòè÷åñ-
êîå äàâëåíèå p ÷èñëåííî ðàâíî ðàáîòå ñèë äàâëåíèÿ, ñîâåðøàåìûõ íàä åäè-
íè÷íûì îáúåìîì æèäêîñòè; äèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå
ρv
2
2
åñòü êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ýòîãî åäèíè÷íîãî îáúåìà, à âåëè÷èíà ρgh ÿâëÿåòñÿ åãî ïîòåíöèàëü-
íîé ýíåðãèåé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.
Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Áåðíóëëè ê ðàñ÷åòó òå÷åíèÿ æèäêîñòè â ðÿäå
èíòåðåñíûõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷.
Âûòåêàíèå æèäêîñòè ÷åðåç îòâåðñòèå â ñîñóäå.
Ïóñòü æèäêîñòü, çàïîëíÿþùàÿ ñîñóä, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè
âûòåêàåò èç íåãî ÷åðåç îòâåðñòèå â áîêîâîé ñòåíêå, ðàñïîëîæåííîå âáëèçè
äíà ñîñóäà (ðèñ. 3.6). Â îò-
âåðñòèå âñòàâëåíà ãîðè-
çîíòàëüíàÿ òðóáêà ñ çàê-
ðóãëåííîé âíóòðåííåé
êðîìêîé, íàïðàâëÿþ-
ùàÿ âûòåêàþùóþ ñòðóþ
âîäû. Çàêðóãëåíèå êðîì-
êè îáåñïå÷èâàåò ïîëíîå
çàïîëíåíèå òðóáêè âû-
òåêàþùåé æèäêîñòüþ.
Ðàçîáüåì òåêó-
ùóþ æèäêîñòü íà òðóá-
êè òîêà. Îäíà èç òàêèõ
òðóáîê èçîáðàæåíà íà
ðèñóíêå 3.6. Õîòÿ ìû è
Ðèñ. 3.6
H
h
p
p
S
S
0
v
v
0
0
0
0
48                                               Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä

ðèñóíêà âèäíî, ÷òî çà âðåìÿ dt ýëåìåíò æèäêîñòè ìàññîé dm = ρS1 v 1dt = ρS2 v 2 dt
îïóñòèëñÿ ñ óðîâíÿ h1 íà óðîâåíü h2, à åãî ñêîðîñòü óâåëè÷èëàñü îò âåëè÷è-
íû v1 äî v2.
       Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî
                               v2 v2  1
                                                     (
                   dE Ê = dm  2 − 1  = ρ S2 v 32 − S1 v 13 dt .
                               2   2  2
                                                                    )
Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñîñòàâëÿåò
                dE Ï = dm ⋅ g( h 2 − h 1 ) = ρg(S2 v 2 h 2 − S1 v 1 h 1 )dt .
Ðàáîòà ñèë äàâëåíèÿ
                       dA = p1S1 v 1 dt − p 2 S2 v 2 dt .
Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà â âèäå
                          dE Ê + dE Ï = dA ,
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè:
                         ρv 12                 ρv 22
                        p1 +   + ρgh 1 = p 2 +       + ρgh 2 .     (3.16)
                          2                     2
       Âûâîä óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè íà îñíîâå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà äåëàåò
áîëåå ïîíÿòíûì ôèçè÷åñêèé ñìûñë âõîäÿùèõ â íåãî ÷ëåíîâ. Òàê, ñòàòè÷åñ-
êîå äàâëåíèå p ÷èñëåííî ðàâíî ðàáîòå ñèë äàâëåíèÿ, ñîâåðøàåìûõ íàä åäè-
                                                                  ρv 2
íè÷íûì îáúåìîì æèäêîñòè; äèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå                         åñòü êèíåòè÷åñêàÿ
                                                                   2
ýíåðãèÿ ýòîãî åäèíè÷íîãî îáúåìà, à âåëè÷èíà ρgh ÿâëÿåòñÿ åãî ïîòåíöèàëü-
íîé ýíåðãèåé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.
       Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Áåðíóëëè ê ðàñ÷åòó òå÷åíèÿ æèäêîñòè â ðÿäå
èíòåðåñíûõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷.

      Âûòåêàíèå æèäêîñòè ÷åðåç îòâåðñòèå â ñîñóäå.
      Ïóñòü æèäêîñòü, çàïîëíÿþùàÿ ñîñóä, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè
âûòåêàåò èç íåãî ÷åðåç îòâåðñòèå â áîêîâîé ñòåíêå, ðàñïîëîæåííîå âáëèçè
                                                  äíà ñîñóäà (ðèñ. 3.6). Â îò-
 h                                                âåðñòèå âñòàâëåíà ãîðè-
                p0 S 0                            çîíòàëüíàÿ òðóáêà ñ çàê-
H                                                 ðóãëåííîé âíóòðåííåé
                                                  êðîìêîé, íàïðàâëÿþ-
                                                  ùàÿ âûòåêàþùóþ ñòðóþ
                                                  âîäû. Çàêðóãëåíèå êðîì-
                  v0                              êè îáåñïå÷èâàåò ïîëíîå
                                                  çàïîëíåíèå òðóáêè âû-
                                                  òåêàþùåé æèäêîñòüþ.
                                                          Ðàçîáüåì òåêó-
                                         S v      ùóþ æèäêîñòü íà òðóá-
 0                                                êè òîêà. Îäíà èç òàêèõ
                                        p0        òðóáîê èçîáðàæåíà íà
                                                  ðèñóíêå 3.6. Õîòÿ ìû è
                  Ðèñ. 3.6

Страницы