Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 46 стр.

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МГУ | Москва

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46 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ρv
dv
dx
dp
dx
x
x
=−
. (3.6)
Çäåñü âìåñòî ∂∂/x èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ïîëíîé ïðîèçâîäíîé d/dx.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
v
dv
dx
d
dx
v
x
xx
=
2
2
, ρ = const, ïåðåïèøåì (3.6) â âèäå
d
dx
v
p
x
ρ
2
2
0+
=
, èëè
ρv
pconst
x
2
2
+=
. (3.7)
Ðàâåíñòâî (3.7), óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó äàâëåíèåì è ñêîðîñòüþ, ÿâëÿ-
åòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè. Êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â ýòî óðàâ-
íåíèå, îïðåäåëÿåòñÿ èç çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè â êàêîì-ëèáî ñå÷åíèè
òðóáêè òîêà.
Èñïîëüçóÿ ýòî óðàâíåíèå, îïðåäåëèì ìàññó âîäû (ðàñõîä), ïðîõîäÿ-
ùóþ çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ñå÷åíèå òðóáêè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.2. Â
ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (3.7) äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè â ñå÷åíèÿõ S
1
è S
2
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
2
v
p
2
v
p
2
2
2
2
1
1
ρ
+=
ρ
+
. (3.8)
Èñêîìûé ðàñõîä âîäû îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (3.1):
mvS vS==ρρ
11 2 2
. (3.9)
Ïîñêîëüêó äàâëåíèÿ pgh
11
=ρ è pgh
22
=ρ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïîêàçàíèÿì h
1
è
h
2
ìàíîìåòðè÷åñêèõ òðóáîê, òî ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.8) è (3.9) îòíî-
ñèòåëüíî m, íàõîäèì
m
pp
SS
=
−
−
−−
2
12
2
2
1
2
ρ()
. (3.10)
Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàñõîäà âîäû íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþòñÿ âîäîìåðû,
îñíîâó êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò òðóáà ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ, îñíàùåííàÿ ìàíî-
ìåòðàìè äëÿ èçìåðåíèÿ äàâëåíèé p
1
è p
2
â ñå÷åíèÿõ S
1
è S
2
.
Òå÷åíèå æèäêîñòè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î òå÷åíèè æèäêîñòè âäîëü ïðîèçâîëüíûõ òðóáîê òîêà,
êîòîðûå ìîãóò ñîñòàâëÿòü íåêîòîðûé ïåðåìåííûé óãîë ñ ãîðèçîíòîì. Îäíà èç
òàêèõ êðèâîëèíåéíûõ òðóáîê ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.4. Åñëè ââåñòè êðèâîëèíåéíóþ
êîîðäèíàòó
l
, ñîâïàäàþùóþ ñ îñüþ òðóáêè òîêà, òî ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷å-
íèè ñêîðîñòü è äàâëåíèå æèäêîñòè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ýòîé êîîðäèíàòû.
Ïðîåêòèðóÿ ñèëó òÿæåñòè íà îñü
l
, çàïèøåì óðàâíåíèå Ýéëåðà (3.5) â âèäå:
ρραv
dv
d
dp
d
g
ll
=− + cos
. (3.11)
Çäåñü v  ñêîðîñòü ÷àñòèö íà îñè òðóáêè.
46                                              Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
                                            dv x    dp
                                     ρv x        =−    .                  (3.6)
                                             dx     dx
Çäåñü âìåñòî ∂ / ∂x èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ïîëíîé ïðîèçâîäíîé d/dx.

                                  d  vx 
                                         2
                           dv x
       Ó÷èòûâàÿ, ÷òî v x        =       , ρ = const, ïåðåïèøåì (3.6) â âèäå
                            dx    dx  2 

                       d     ρv 2x               ρv 2x
                                   + p = 0 , èëè       + p = const .    (3.7)
                       dx    2                    2
Ðàâåíñòâî (3.7), óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó äàâëåíèåì è ñêîðîñòüþ, ÿâëÿ-
åòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè. Êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â ýòî óðàâ-
íåíèå, îïðåäåëÿåòñÿ èç çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè â êàêîì-ëèáî ñå÷åíèè
òðóáêè òîêà.
       Èñïîëüçóÿ ýòî óðàâíåíèå, îïðåäåëèì ìàññó âîäû (ðàñõîä), ïðîõîäÿ-
ùóþ çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ñå÷åíèå òðóáêè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.2. Â
ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (3.7) äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè â ñå÷åíèÿõ S1 è S2
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
                                ρv 12       ρv 2
                                p1 +  = p2 + 2 .                          (3.8)
                                 2           2
Èñêîìûé ðàñõîä âîäû îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (3.1):
                                    m = ρv 1S1 = ρv 2S2 .                 (3.9)
Ïîñêîëüêó äàâëåíèÿ p1 = ρgh 1 è p 2 = ρgh 2 îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïîêàçàíèÿì h1 è
h2 ìàíîìåòðè÷åñêèõ òðóáîê, òî ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.8) è (3.9) îòíî-
ñèòåëüíî m, íàõîäèì
                                            2ρ( p1 − p 2 )
                                 m=
                                             S2− 2 − S1− 2 .             (3.10)

       Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàñõîäà âîäû íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþòñÿ âîäîìåðû,
îñíîâó êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò òðóáà ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ, îñíàùåííàÿ ìàíî-
ìåòðàìè äëÿ èçìåðåíèÿ äàâëåíèé p1 è p2 â ñå÷åíèÿõ S1 è S2.


       Òå÷åíèå æèäêîñòè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè.
       Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î òå÷åíèè æèäêîñòè âäîëü ïðîèçâîëüíûõ òðóáîê òîêà,
êîòîðûå ìîãóò ñîñòàâëÿòü íåêîòîðûé ïåðåìåííûé óãîë ñ ãîðèçîíòîì. Îäíà èç
òàêèõ êðèâîëèíåéíûõ òðóáîê ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.4. Åñëè ââåñòè êðèâîëèíåéíóþ
êîîðäèíàòó l , ñîâïàäàþùóþ ñ îñüþ òðóáêè òîêà, òî ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷å-
íèè ñêîðîñòü è äàâëåíèå æèäêîñòè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ýòîé êîîðäèíàòû.
Ïðîåêòèðóÿ ñèëó òÿæåñòè íà îñü l , çàïèøåì óðàâíåíèå Ýéëåðà (3.5) â âèäå:
                                    dv    dp
                               ρv      =−    + ρg cos α .                (3.11)
                                    dl    dl
Çäåñü v — ñêîðîñòü ÷àñòèö íà îñè òðóáêè.

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