Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
âàæíî îïåðèðîâàòü ñ ðàâåíñòâàìè èëè óðàâíåíèÿìè, îòíåñåííûìè ê îäíîé
òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äåôîðìàöèþ äâèæóùåãîñÿ êóáè÷åñêîãî ýëåìåí-
òà æèäêîñòè. Åñëè åãî îáúåì ÷åðåç ìàëûé îòðåçîê âðåìåíè δt íå èçìåíÿåòñÿ,
òî ñóììà äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ òåíçîðà äåôîðìàöèè ðàâíà íóëþ, ò.å.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
x
u
y
u
z
x
y
z
++=0 .
Çäåñü u
x
, u
y
è u
z
 ñìåùåíèÿ ãðàíåé êóáèêà â íàïðàâëåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ
îñåé êîîðäèíàò. Îäíàêî ýòè ñìåùåíèÿ ñâÿçàíû ñî ñêîðîñòÿìè äâèæåíèÿ ãðà-
íåé (à òî÷íåå, ÷àñòèö æèäêîñòè, íàõîäÿùèõñÿ â äàííûé ìîìåíò íà ýòèõ
ãðàíÿõ):
uvt
xx
=δ
,
uvt
yy
=δ
,
uvt
zz
=δ
.
Èñïîëüçóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ëîêàëüíîå (îòíîñÿùååñÿ ê îäíîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà) óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè â âèäå
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
x
v
y
v
z
x
y
z
++=0
. (3.22)
 ôèçèêå äëÿ îïèñàíèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé, à â íàøåì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò
î âåêòîðíîì ïîëå ñêîðîñòåé v = v(x,y,z,t), èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåí-
öèè (èñòîêà) ïîëÿ â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîð-
äèíàò âûðàæåíèå äëÿ
div v
èìååò âèä:
div
v
x
v
y
v
z
x
y
z
v =++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (3.23)
Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ ñêà-
ëÿðíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðå-
ìåíè è ëåãêî ðàññ÷èòûâàåòñÿ, åñëè
èçâåñòíû êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî
ïîëÿ (â íàøåì ñëó÷àå v
x
, v
y
è v
z
). Ïî-
ýòîìó óñëîâèå (3.22) ïîñòîÿíñòâà
îáúåìà íåñæèìàåìîé æèäêîñòè çàïè-
ñûâàåòñÿ êðàòêî:
div v = 0. (3.24)
Óðàâíåíèå (3.24) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç
îñíîâíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè
íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
Çàìåòèì, ÷òî èìååòñÿ ìíîæå-
ñòâî âåêòîðíûõ ïîëåé, êàê, íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêîå E = E(x,y,z,t) è ìàã-
íèòíîå B = B(x,y,z,t) ïîëÿ è äð., ïðè îïèñàíèè êîòîðûõ òàêæå øèðîêî èñ-
ïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåíöèè: div E èëè div B è ò.ä. Õîòÿ îíà è âû÷èñëÿåòñÿ
â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.23), îïðåäåëÿåòñÿ, îäíàêî, èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé, ïî-
ñêîëüêó â ýëåêòðîäèíàìèêå íå èäåò ðå÷ü î äâèæåíèè è äåôîðìàöèè ýëåìåíòà
ìàòåðèàëüíîé ñðåäû.
Íà ïðèìåðå âåêòîðíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé v = v(x,y,z,t) ïîÿñíèì ñìûñë
ïîíÿòèÿ äèâåðãåíöèè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåïîäâèæíûé ýëåìåíòàðíûé
îáúåì dV = dxdydx è ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, âòåêàþùåé è âûòåêà-
þùåé èç ýòîãî îáúåìà çà åäèíèöó âðåìåíè.
dz
z
dy
y
dx
x
Ðèñ. 3.11
52                                             Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
âàæíî îïåðèðîâàòü ñ ðàâåíñòâàìè èëè óðàâíåíèÿìè, îòíåñåííûìè ê îäíîé
òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
       Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äåôîðìàöèþ äâèæóùåãîñÿ êóáè÷åñêîãî ýëåìåí-
òà æèäêîñòè. Åñëè åãî îáúåì ÷åðåç ìàëûé îòðåçîê âðåìåíè δt íå èçìåíÿåòñÿ,
òî ñóììà äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ òåíçîðà äåôîðìàöèè ðàâíà íóëþ, ò.å.
                               ∂u x ∂u y ∂u z
                                   +    +     = 0.
                                ∂x   ∂y   ∂z
Çäåñü ux, uy è uz — ñìåùåíèÿ ãðàíåé êóáèêà â íàïðàâëåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ
îñåé êîîðäèíàò. Îäíàêî ýòè ñìåùåíèÿ ñâÿçàíû ñî ñêîðîñòÿìè äâèæåíèÿ ãðà-
íåé (à òî÷íåå, ÷àñòèö æèäêîñòè, íàõîäÿùèõñÿ â äàííûé ìîìåíò íà ýòèõ
ãðàíÿõ):
                     u x = v x δt ,   u y = v y δt ,     u z = v z δt .
Èñïîëüçóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ëîêàëüíîå (îòíîñÿùååñÿ ê îäíîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà) óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè â âèäå
                                      ∂v x   ∂v y  ∂v
                                           +      + z = 0.                            (3.22)
                                       ∂x     ∂y    ∂z
        ôèçèêå äëÿ îïèñàíèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé, à â íàøåì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò
î âåêòîðíîì ïîëå ñêîðîñòåé v = v(x,y,z,t), èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåí-
öèè (èñòîêà) ïîëÿ â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîð-
äèíàò âûðàæåíèå äëÿ div v èìååò âèä:
                                                                 ∂v x   ∂v y   ∂v z
                                                       div v =        +      +      . (3.23)
         z                                                        ∂x     ∂y     ∂z
                                              Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ ñêà-
                       dy                     ëÿðíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðå-
              dx                              ìåíè è ëåãêî ðàññ÷èòûâàåòñÿ, åñëè
                               dz             èçâåñòíû êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî
                                              ïîëÿ (â íàøåì ñëó÷àå vx, vy è vz). Ïî-
                                              ýòîìó óñëîâèå (3.22) ïîñòîÿíñòâà
                                              îáúåìà íåñæèìàåìîé æèäêîñòè çàïè-
                                              ñûâàåòñÿ êðàòêî:
                                                        div v = 0 .     (3.24)
                                      yÓðàâíåíèå (3.24) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç
 x                                     îñíîâíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè
                 Ðèñ. 3.11             íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
                                               Çàìåòèì, ÷òî èìååòñÿ ìíîæå-
ñòâî âåêòîðíûõ ïîëåé, êàê, íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêîå E = E(x,y,z,t) è ìàã-
íèòíîå B = B(x,y,z,t) ïîëÿ è äð., ïðè îïèñàíèè êîòîðûõ òàêæå øèðîêî èñ-
ïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåíöèè: div E èëè div B è ò.ä. Õîòÿ îíà è âû÷èñëÿåòñÿ
â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.23), îïðåäåëÿåòñÿ, îäíàêî, èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé, ïî-
ñêîëüêó â ýëåêòðîäèíàìèêå íå èäåò ðå÷ü î äâèæåíèè è äåôîðìàöèè ýëåìåíòà
ìàòåðèàëüíîé ñðåäû.
       Íà ïðèìåðå âåêòîðíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé v = v(x,y,z,t) ïîÿñíèì ñìûñë
ïîíÿòèÿ äèâåðãåíöèè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåïîäâèæíûé ýëåìåíòàðíûé
îáúåì dV = dxdydx è ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, âòåêàþùåé è âûòåêà-
þùåé èç ýòîãî îáúåìà çà åäèíèöó âðåìåíè.

Страницы