Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

54 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
òîêà äëÿ ýòîãî îáúåìà. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷-
êè, ãäå div v = 0, ëèíèè òîêà íå ïðåðûâàþòñÿ. Ïîýòîìó ðàâåíñòâî div v = 0
íàçûâàþò óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè.
Èç øêîëüíîãî êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðî-
ñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ (àíàëîã ëèíèé òîêà) ïðåðûâàþòñÿ òîëüêî íà çàðÿäàõ. Ïî-
ýòîìó äëÿ îáëàñòåé, ãäå çàðÿäû îòñóòñòâóþò, ìû òàêæå âïðàâå íàïèñàòü
div
E
x
E
y
E
z
x
y
z
E =++=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0
. Ñèëîâûå ëèíèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B
âñåãäà çàìêíóòû (íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ), ïîýòîìó div B = 0.
Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè.
Ïðè çàäàííûõ âíåøíèõ ñèëàõ è èçâåñòíûõ ñâîéñòâàõ æèäêîñòè ìîæíî
çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ åäèíèöû îáúåìà íåñæèìàåìîé íåâÿçêîé æèä-
êîñòè:
ρ
d
dt
grad p
v
F=−
, (3.28)
ãäå îïåðàòîð grad (ãðàäèåíò) îïðåäåëÿåòñÿ êàê
grad
xy z
=++ijk
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (3.29)
Óðàâíåíèå (3.28) çàïèñàíî â âåêòîðíîì âèäå è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îäíî-
ìåðíîãî óðàâíåíèÿ (3.3).
Ðàñïèñûâàÿ (3.28) äëÿ òðåõ ïðîåêöèé ñêîðîñòè, ïîëó÷àåì ñèñòå-
ìó óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íûõ (3.5):
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
t
v
v
x
v
v
y
v
v
z
F
p
x
x
x
x
y
x
z
x
x
+++
=−
,
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
t
v
v
x
v
v
y
v
v
z
F
p
y
y
x
y
y
y
z
y
y
+++
= −
, (3.30)
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
t
v
v
x
v
v
y
v
v
z
F
p
z
z
x
z
y
z
z
z
z
+++
=−
.
Åñëè ýòè óðàâíåíèÿ äîïîëíèòü óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
x
v
y
v
z
x
y
z
++=0
,
òî ìû ïîëó÷èì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ÷åòûðüìÿ íåèçâåñòíûìè ôóíê-
öèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè (v
x
, v
y
, v
z
è p). Óðàâíåíèÿ (3.30) íàçûâàþòñÿ
óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà è ïîçâîëÿþò, â ïðèíöèïå, ðàññ÷èòàòü äèíàìèêó òå÷å-
íèÿ æèäêîñòè. Îäíàêî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ
íåëèíåéíîé èç-çà íàëè÷èÿ ÷ëåíîâ òèïà
v
v
x
x
x
∂
∂
, ...,
v
v
z
z
z
∂
∂
. Ïîýòîìó èíòåã-
ðèðîâàíèå ýòèõ óðàâíåíèé è íàõîæäåíèå èñêîìûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëÿåò
ïîä÷àñ âåñüìà ñëîæíóþ çàäà÷ó äàæå ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîùíûõ ÝÂÌ. Èç
(3.30) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ, êîãäà
54                                           Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
òîêà äëÿ ýòîãî îáúåìà. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷-
êè, ãäå div v = 0, ëèíèè òîêà íå ïðåðûâàþòñÿ. Ïîýòîìó ðàâåíñòâî div v = 0
íàçûâàþò óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè.
       Èç øêîëüíîãî êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðî-
ñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ (àíàëîã ëèíèé òîêà) ïðåðûâàþòñÿ òîëüêî íà çàðÿäàõ. Ïî-
ýòîìó äëÿ îáëàñòåé, ãäå çàðÿäû îòñóòñòâóþò, ìû òàêæå âïðàâå íàïèñàòü
          ∂E x ∂E y ∂E z
div E =       +    +     = 0 . Ñèëîâûå ëèíèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B
           ∂x   ∂y   ∂z
âñåãäà çàìêíóòû (íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ), ïîýòîìó div B = 0.


       Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè.
       Ïðè çàäàííûõ âíåøíèõ ñèëàõ è èçâåñòíûõ ñâîéñòâàõ æèäêîñòè ìîæíî
çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ åäèíèöû îáúåìà íåñæèìàåìîé íåâÿçêîé æèä-
êîñòè:
                                 dv
                                  ρ = F − grad p ,                      (3.28)
                                 dt
ãäå îïåðàòîð grad (ãðàäèåíò) îïðåäåëÿåòñÿ êàê
                                           ∂      ∂    ∂
                               grad = i      + j    +k    .             (3.29)
                                          ∂x     ∂y    ∂z
Óðàâíåíèå (3.28) çàïèñàíî â âåêòîðíîì âèäå è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îäíî-
ìåðíîãî óðàâíåíèÿ (3.3).
      Ðàñïèñûâàÿ (3.28) äëÿ òðåõ ïðîåêöèé ñêîðîñòè, ïîëó÷àåì ñèñòå-
ìó óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íûõ (3.5):
                   ∂v      ∂v x      ∂v x      ∂v x         ∂p
                 ρ x + v x      + vy      + vz       = Fx −
                   ∂t       ∂x        ∂y        ∂z          ∂x ,

                   ∂v y      ∂v y      ∂v y      ∂v y         ∂p
                 ρ      + vx      + vy      + vz       = Fy −    ,    (3.30)
                   ∂t         ∂x        ∂y        ∂z          ∂y

                   ∂v      ∂v z      ∂v z      ∂v z         ∂p
                 ρ z + v x      + vy      + vz       = Fz −
                   ∂t       ∂x        ∂y        ∂z          ∂z .
Åñëè ýòè óðàâíåíèÿ äîïîëíèòü óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè
                              ∂v x   ∂v y  ∂v
                                   +      + z = 0,
                               ∂x     ∂y    ∂z
òî ìû ïîëó÷èì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ÷åòûðüìÿ íåèçâåñòíûìè ôóíê-
öèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè (vx, vy, vz è p). Óðàâíåíèÿ (3.30) íàçûâàþòñÿ
óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà è ïîçâîëÿþò, â ïðèíöèïå, ðàññ÷èòàòü äèíàìèêó òå÷å-
íèÿ æèäêîñòè. Îäíàêî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ
                                         ∂v x            ∂v z
íåëèíåéíîé èç-çà íàëè÷èÿ ÷ëåíîâ òèïà v x      , ..., v z      . Ïîýòîìó èíòåã-
                                          ∂x              ∂z
ðèðîâàíèå ýòèõ óðàâíåíèé è íàõîæäåíèå èñêîìûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëÿåò
ïîä÷àñ âåñüìà ñëîæíóþ çàäà÷ó äàæå ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîùíûõ ÝÂÌ. Èç
(3.30) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ, êîãäà

Страницы