Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

55
Ëåêöèÿ 3
∂
∂
v
t
= 0
. Îäíàêî âûâîä ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü
ñàìîñòîÿòåëüíî, îáðàòèâøèñü ê ðåêîìåíäîâàííîé ëèòåðàòóðå. Â äàëüíåéøåì
ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ (3.30) äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ
æèäêîñòè è àíàëèçà ñâîéñòâ àêóñòè÷åñêèõ âîëí.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (3.30) ÷àñòî çàïèñûâàåòñÿ â áîëåå
êîìïàêòíîì âèäå ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà ãðàäèåíòà. Êàæäîå èç òðåõ óðàâ-
íåíèé (3.30) èìååò âèä
()
ρ
∂
∂
t
grad v F grad p
xyz xyz
xyz
+⋅
=−
v
,, ,,
,,
.
Âîçâðàùàÿñü ê âåêòîðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü çàïèñàòü
÷åòûðå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà â âèäå äâóõ âåêòîðíûõ:
ρ
∂
∂t
grad grad
div
+⋅
=−
=
vvF p
v
,
.0
(3.31)
Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè.
Ïðè òå÷åíèè ãàçîâ, îñîáåííî ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ, èõ ïëîòíîñòü
ìîæåò çíà÷èòåëüíî ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè è â ïðîñòðàíñòâå. ßñíî, ÷òî îáúåì
«æèäêîñòè», âòåêàþùåé ÷åðåç ïîâåðõíîñòü êóáèêà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.11,
ìîæåò áûòü íå ðàâåí îáúåìó âûòåêàþùåé «æèäêîñòè». Åñëè ýòîãî ðàâåíñòâà
íåò, òî ìàññà ãàçà âíóòðè êóáèêà (à ñ íåé è ïëîòíîñòü) áóäåò ñî âðåìåíåì
ìåíÿòüñÿ. Óðàâíåíèå (3.24) â ýòîì ñëó÷àå ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì.  ýòîì
ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè, êîòîðîå âûâîäèòñÿ èç óñ-
ëîâèÿ áàëàíñà ìàññû ãàçà. Ïîòîê ìàññû ãàçà ÷åðåç ïëîùàäêó dS áóäåò ðàâåí
dN d
M
=⋅ρvS
, à ïîëíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ýëåìåíòà ñ îáúåìîì dxdydz,
àíàëîãè÷íî (3.27), ðàâåí
()
dN dxdydz div
M
=⋅ρ
v
, (3.32)
ãäå
ρ⋅v
 íîâîå âåêòîðíîå ïîëå. Åñëè ýòîò ïîòîê ïîëîæèòåëüíûé, òî ìàññà
âíóòðè ýëåìåíòà
mdxdydz=ρ
áóäåò óáûâàòü çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ âî âðåìåíè
ïëîòíîñòè
ρ
. Ïîýòîìó, çàïèñûâàÿ óñëîâèå áàëàíñà ìàññû â âèäå
()
dxdydz div dxdydz
t
⋅=−ρ
∂ρ
∂
v
, (3.33)
ìû ïîëó÷àåì (ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà dxdydz) îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ãèäðîäèíàìèêè  óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ñæèìàåìîé æèäêîñòè:
()
∂ρ
∂
ρ
t
div
+=
v 0
. (3.34)
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ρ = const ýòî óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â (3.24).
 ýëåêòðîäèíàìèêå ýòî óðàâíåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì. Â
ñàìîì äåëå, åñëè ðå÷ü èäåò î äâèæóùèõñÿ çàðÿäàõ, îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êîòî-
ðûõ ðàâíà ρ, òî óðàâíåíèå (3.34) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì óíè-
âåðñàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà.
Ëåêöèÿ 3                                                                   55

 ∂v
    = 0 . Îäíàêî âûâîä ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü
 ∂t
ñàìîñòîÿòåëüíî, îáðàòèâøèñü ê ðåêîìåíäîâàííîé ëèòåðàòóðå. Â äàëüíåéøåì
ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ (3.30) äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ
æèäêîñòè è àíàëèçà ñâîéñòâ àêóñòè÷åñêèõ âîëí.
          çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (3.30) ÷àñòî çàïèñûâàåòñÿ â áîëåå
êîìïàêòíîì âèäå ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà ãðàäèåíòà. Êàæäîå èç òðåõ óðàâ-
íåíèé (3.30) èìååò âèä
                  ∂          
                 ρ + v ⋅ grad v x,y ,z = Fx,y ,z − (grad p) x,y ,z .
                   ∂t        
Âîçâðàùàÿñü ê âåêòîðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü çàïèñàòü
÷åòûðå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà â âèäå äâóõ âåêòîðíûõ:
                            ∂          
                           ρ + v ⋅ grad v = F − grad p,
                             ∂t                                        (3.31)
                           div v = 0.


       Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè.
       Ïðè òå÷åíèè ãàçîâ, îñîáåííî ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ, èõ ïëîòíîñòü
ìîæåò çíà÷èòåëüíî ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè è â ïðîñòðàíñòâå. ßñíî, ÷òî îáúåì
«æèäêîñòè», âòåêàþùåé ÷åðåç ïîâåðõíîñòü êóáèêà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.11,
ìîæåò áûòü íå ðàâåí îáúåìó âûòåêàþùåé «æèäêîñòè». Åñëè ýòîãî ðàâåíñòâà
íåò, òî ìàññà ãàçà âíóòðè êóáèêà (à ñ íåé è ïëîòíîñòü) áóäåò ñî âðåìåíåì
ìåíÿòüñÿ. Óðàâíåíèå (3.24) â ýòîì ñëó÷àå ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì.  ýòîì
ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè, êîòîðîå âûâîäèòñÿ èç óñ-
ëîâèÿ áàëàíñà ìàññû ãàçà. Ïîòîê ìàññû ãàçà ÷åðåç ïëîùàäêó dS áóäåò ðàâåí
dN M = ρv ⋅ dS , à ïîëíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ýëåìåíòà ñ îáúåìîì dxdydz,
àíàëîãè÷íî (3.27), ðàâåí
                                dN M = dxdydz ⋅ div(ρv ) ,               (3.32)
ãäå ρ ⋅ v — íîâîå âåêòîðíîå ïîëå. Åñëè ýòîò ïîòîê ïîëîæèòåëüíûé, òî ìàññà
âíóòðè ýëåìåíòà m = ρdxdydz áóäåò óáûâàòü çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ âî âðåìåíè
ïëîòíîñòè ρ . Ïîýòîìó, çàïèñûâàÿ óñëîâèå áàëàíñà ìàññû â âèäå
                                                  ∂ρ
                               dxdydz ⋅ div(ρv ) = − dxdydz
                                                     ,           (3.33)
                                                  ∂t
ìû ïîëó÷àåì (ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà dxdydz) îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ãèäðîäèíàìèêè — óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ñæèìàåìîé æèäêîñòè:
                                     ∂ρ
                                        + div (ρv) = 0 .             (3.34)
                                     ∂t
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ρ = const ýòî óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â (3.24).
       Â ýëåêòðîäèíàìèêå ýòî óðàâíåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì. Â
ñàìîì äåëå, åñëè ðå÷ü èäåò î äâèæóùèõñÿ çàðÿäàõ, îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êîòî-
ðûõ ðàâíà ρ, òî óðàâíåíèå (3.34) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì óíè-
âåðñàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà.

Страницы