Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

57
Ëåêöèÿ 3
vdp
gh
v
gh
ph
ph
2
1
2
1
22
11
++=+
∫
ρ
()
()
. (3.41)
Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè íåîáõîäèìî çíàòü ñâÿçü
ìåæäó p è ρ.  ñëó÷àå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ρ = const) óðàâíåíèå (3.41)
ïåðåõîäèò â (3.15).
Åñëè ðå÷ü èäåò î ïîòîêå ãàçà «ñæèìàåìîé» æèäêîñòè, òî ïðè áûñòðîì
ñæàòèè (óâåëè÷åíèè ïëîòíîñòè) ãàç áóäåò íàãðåâàòüñÿ. Èç-çà ïëîõîé òåïëî-
ïðîâîäíîñòè ãàçà òåïëî íå áóäåò óñïåâàòü óõîäèòü èç íàãðåòûõ îáëàñòåé. Ïî-
ýòîìó äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçè p = p(ρ) âîñïîëüçóåìñÿ àäèàáàòè÷åñêèì ïðè-
áëèæåíèåì:
p
p
11
=
ρ
ρ
γ
, (3.42)
ãäå ïîêàçàòåëü àäèàáàòû γ > 1. Òàêàÿ ñâÿçü ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî íà÷àëà òåð-
ìîäèíàìèêè è óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (2.32) ïðè óñëîâèè îò-
ñóòñòâèÿ òåïëîîáìåíà ìåæäó íàãðåòîé îáëàñòüþ è îêðóæàþùåé ñðåäîé.
Äàâëåíèå â (3.42) âîçðàñòàåò ñ ïëîòíîñòüþ áûñòðåå, ÷åì ïðè èçîòåðìè÷åñ-
êîì ïðîöåññå, òàê êàê γ>1 . Â êóðñå ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè áóäåò ïîêàçàíî,
÷òî
Vp
C/C
=γ
(C
p
è C
V
 òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííûõ äàâëåíèè è îáúå-
ìå ñîîòâåòñòâåííî). Äëÿ âîçäóõà, ñîñòîÿùåãî ãëàâíûì îáðàçîì èç äâóõàòîì-
íûõ ãàçîâ, γ=14, .
Åñëè ïîäñòàâèòü (3.42) â (3.41) è âûïîëíèòü ïðîñòåéøåå èíòåãðèðîâà-
íèå, òî ìîæíî îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ âäîëü òðóáêè òîêà:
()
()
pp
p
vv ghh
=−
−
−+−
−
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
γ
γ
ρ
γ
γ
. (3.43)
Áóäåì ñ÷èòàòü òðóáêó òîêà ãîðèçîíòàëüíîé (h = h
1
), à ñêîðîñòè òå÷å-
íèÿ òàêèìè, ÷òî
1
2
1
11
2
1
2
1
1
1
2
vv
pc
−<
−
=
−γ
γ
ργ
, (3.44)
ãäå
c
p
1
1
1
=γ
ρ
 ïàðàìåòð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè. Êàê ìû óâèäèì
íåñêîëüêî ïîçäíåå, ýòîò ïàðàìåòð îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü çâóêà â ãàçå
c
p
=γ
ρ
. (3.45)
Ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ñêîðîñòü çâóêà â âîçäóõå ñ = 330 ì/ñ.  ýòîì ñëó÷àå
(3.43) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä:
pp
p
vv
p
vv
=−
−
+
−
+
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
22
ρ
γ
ρ
...
. (3.46)
Ëåêöèÿ 3                                                                            57

                                         p( h )
                                 v2                 dp       v2
                                    +      ∫           + gh = 1 + gh 1 .          (3.41)
                                 2      p1 ( h1   )
                                                     ρ        2
Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè íåîáõîäèìî çíàòü ñâÿçü
ìåæäó p è ρ.  ñëó÷àå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ρ = const) óðàâíåíèå (3.41)
ïåðåõîäèò â (3.15).
       Åñëè ðå÷ü èäåò î ïîòîêå ãàçà «ñæèìàåìîé» æèäêîñòè, òî ïðè áûñòðîì
ñæàòèè (óâåëè÷åíèè ïëîòíîñòè) ãàç áóäåò íàãðåâàòüñÿ. Èç-çà ïëîõîé òåïëî-
ïðîâîäíîñòè ãàçà òåïëî íå áóäåò óñïåâàòü óõîäèòü èç íàãðåòûõ îáëàñòåé. Ïî-
ýòîìó äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçè p = p(ρ) âîñïîëüçóåìñÿ àäèàáàòè÷åñêèì ïðè-
áëèæåíèåì:
                                                                   γ
                                                  p     ρ
                                                     =   ,                     (3.42)
                                                  p 1  ρ1 
ãäå ïîêàçàòåëü àäèàáàòû γ > 1. Òàêàÿ ñâÿçü ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî íà÷àëà òåð-
ìîäèíàìèêè è óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (2.32) ïðè óñëîâèè îò-
ñóòñòâèÿ òåïëîîáìåíà ìåæäó íàãðåòîé îáëàñòüþ è îêðóæàþùåé ñðåäîé.
Äàâëåíèå â (3.42) âîçðàñòàåò ñ ïëîòíîñòüþ áûñòðåå, ÷åì ïðè èçîòåðìè÷åñ-
êîì ïðîöåññå, òàê êàê γ > 1 . Â êóðñå ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè áóäåò ïîêàçàíî,
÷òî γ = C p / C V (Cp è CV — òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííûõ äàâëåíèè è îáúå-
ìå ñîîòâåòñòâåííî). Äëÿ âîçäóõà, ñîñòîÿùåãî ãëàâíûì îáðàçîì èç äâóõàòîì-
íûõ ãàçîâ, γ = 1,4 .
        Åñëè ïîäñòàâèòü (3.42) â (3.41) è âûïîëíèòü ïðîñòåéøåå èíòåãðèðîâà-
íèå, òî ìîæíî îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ âäîëü òðóáêè òîêà:
                                                                           γ
                          
                  p = p 1 1 −
                          
                               γ − 1 ρ1  1 2
                                        
                                 γ p1  2
                                                  (            )    γ −1
                                            v − v 12 + g(h − h 1 ) 
                                                                  
                                                                           .      (3.43)

       Áóäåì ñ÷èòàòü òðóáêó òîêà ãîðèçîíòàëüíîé (h = h1), à ñêîðîñòè òå÷å-
íèÿ òàêèìè, ÷òî
                                 1 2            1 γ p1   c2
                                   v − v 12 <          = 1 ,                      (3.44)
                                 2            γ − 1 ρ1  γ −1

               p1
ãäå c1 =   γ      — ïàðàìåòð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè. Êàê ìû óâèäèì
               ρ1
íåñêîëüêî ïîçäíåå, ýòîò ïàðàìåòð îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü çâóêà â ãàçå
                                                               p
                                                      c=   γ
                                                               ρ.                 (3.45)

Ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ñêîðîñòü çâóêà â âîçäóõå ñ = 330 ì/ñ.  ýòîì ñëó÷àå
(3.43) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä:
                                                                      2     
                             ρ1  v 2 − v 12    1 ρ12  v 2 − v 12        
                  p = p1 1 −                 +                      +....
                                                                              (3.46)
                                               2 γ p1 
                              p1      2              2       2
                                                                          

Страницы