Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 58 стр.

58                                                     Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
        Åñëè ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ãàçà ñ÷èòàòü ìàëûìè (v, v1 << c1), òî â (3.46)
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êâàäðàòè÷íûì è áîëåå âûñîêèìè ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ. Â
ýòîì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ñîîòâåòñòâóåò òå÷åíèþ íåñæèìàåìîé
æèäêîñòè ñ ïëîòíîñòüþ ρ1=const. Êâàäðàòè÷íûé ÷ëåí íà÷èíàåò äàâàòü âêëàä â
ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïðè ñêîðîñòÿõ ïîòîêà, ñîèçìåðèìûõ ñî ñêîðîñòüþ
çâóêà ñ1.
        Ïîäñòàâèâ (3.42) â (3.43), ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè âäîëü
òðóáêè òîêà:
                                                                             1
                                
                         ρ = ρ1 1 −
                                
                                     γ − 1 ρ1  1 2
                                              
                                       γ p1  2
                                                   (          )         γ − 2
                                                 v − v 12 + g(h − h 1 ) 
                                                                       
                                                                                .   (3.47)

Äëÿ ãîðèçîíòàëüíîé òðóáêè òîêà è ïðè óñëîâèè (3.44) ðàñïðåäåëåíèå ïëîò-
íîñòè (3.47) ïîñëå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïðèìåò âèä:
                                                   v 2 − v 12     
                                       ρ = ρ1 1 −            +... .             (3.48)
                                                      2c12         
        Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ãàçà íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü òîëü-
êî ïðè ñêîðîñòÿõ òå÷åíèÿ, ñîïîñòàâèìûõ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñî ñêîðîñòüþ
çâóêà, îïðåäåëÿåìîé, êàê ñëåäóåò èç (3.45), äàâëåíèåì è ïëîòíîñòüþ â ýòîì
ïîòîêå. Åñëè æå ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v << c, òî ñæèìàåìîñòüþ ãàçà ìîæíî ïðå-
íåáðå÷ü.


       Ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè.
       Åñëè â íåïîäâèæíîé æèäêîñòè èëè ãàçå áûñòðî ñîçäàòü â íåáîëüøîé
îáëàñòè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå ∆p , à çíà÷èò è èçáûòî÷íóþ ïëîòíîñòü ∆ρ , òî
ýòè âîçìóùåíèÿ áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ, ïîñëåäîâà-
òåëüíî ïðèâîäÿ â äâèæåíèå ÷àñòèöû ñðåäû, ðàñïîëîæåííûå íà ïóòè ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ, êàê ïîêàçûâàåò îïûò, íå çàâèñèò îò
êîíêðåòíîãî âèäà âîçìóùåíèÿ, åñëè òîëüêî îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ
∆p       << 1 è ∆ρ       << 1 (p è ρ — ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè
     p               ρ
ñðåäû). Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî è ôîðìà òàêèõ ìàëûõ âîçìóùåíèé â ïðîöåññå èõ
ðàñïðîñòðàíåíèÿ íå ìåíÿåòñÿ.
        Ðàññ÷èòàåì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé, èñïîëüçóÿ ñàìóþ
ïðîñòóþ ôèçè÷åñêóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü òðóáà ñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷å-
íèÿ S çàïîëíåíà æèäêîñòüþ èëè ãàçîì ñ ïëîòíîñòüþ ρ, íàõîäÿùèìèñÿ ïîä
äàâëåíèåì p. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîðøåíü, çàêðûâàþ-
ùèé òðóáó ñ îäíîãî êîíöà, íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
v << c. Ïåðåä ïîðøíåì îáðàçóåòñÿ îáëàñòü ïîâûøåííîãî äàâëåíèÿ (ðèñ. 3.13),
ãðàíèöà êîòîðîé áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ c. Èìïóëüñ ñèëû F, äåéñòâóþ-
ùåé â òå÷åíèå âðåìåíè ∆t , ïåðåäàåòñÿ ÷àñòèöàì ñðåäû â îáúåìå ñ ïîâûøåí-
íîé ïëîòíîñòüþ ρ + ∆ρ , êîòîðûå íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Ïîýòî-
ìó ìîæåì çàïèñàòü ðàâåíñòâî:
                             F∆t = ∆pS∆t = (ρ + ∆ρ)(c − v )∆t ⋅ S ⋅ v ,             (3.49)
èëè