Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà è óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè.
Äèíàìèêà ñæèìàåìîé æèäêîñòè òàêæå áàçèðóåòñÿ íà 2-ì çàêîíå Íüþ-
òîíà, çàïèñàííîì äëÿ åäèíèöû ìàññû æèäêîñòè. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâ-
ëåíèÿ è âíåøíèõ ñèë ñîçäàåò óñêîðåíèå åäèíèöû ìàññû, ïîýòîìó
∂
∂ρt
grad grad p+⋅
=−vv
1
+
F
, (3.35)
ãäå F  âíåøíÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ìàññû. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïÿòè íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (v
x
, v
y
, v
z
, p è ρ) íåîáõîäèìî äîïîëíèòü (3.35)
óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè (3.34) è ìàòåðèàëüíûì óðàâíåíèåì, ñâÿçûâàþ-
ùèì ïëîòíîñòü è äàâëåíèå:
()
pp
=ρ
. (3.36)
Ñèñòåìà (3.34)  (3.36) íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà äëÿ ñæè-
ìàåìîé æèäêîñòè. Îãðîìíîå êîëè÷åñòâî çàäà÷ ãàçîäèíàìèêè ðåøàåòñÿ íà îñ-
íîâå ýòèõ óðàâíåíèé.
Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (3.35) è ïîëó÷èì óðàâíåíèå Áåðíóëëè. Äëÿ
ýòîãî âèäîèçìåíèì ïðàâóþ ÷àñòü (3.35), ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
P
(2.27), è ó÷òåì (2.29), ò.å. ââåäåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ åäèíèöû ìàññû U
1
.
Òîãäà (3.35) ïðèìåò âèä
()
t
grad grad +U
+
=−
vv P
1
. (3.37)
Ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè
∂
∂
v
t
= 0
. Â íàïðàâëåíèè îñè òðóáêè òîêà
(âäîëü êðèâîëèíåéíîé êîîðäèíàòû
l
) ìîæíî çàïèñàòü
()
v
d
d
v
d
d
U
ll
=− +
P
1
. (3.38)
Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû ìàññû
UUhghconst
11
() ( )l ==+
,
à
P()
()
()
l
l
l
=
∫
dp
p
p
ρ
11
, òî, ïî àíàëîãèè ñ (3.13), ïåðåïèøåì (3.38) â âèäå
d
d
vdp
gh
p
p
l
l
l
2
2
0
11
++
=
∫
ρ
()
()
. (3.39)
Èíòåãðèðóÿ (3.39) âäîëü òðóáêè òîêà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ñæè-
ìàåìîé æèäêîñòè:
vdp
gh const
ph
ph
2
2
11
++=
∫
ρ
()
()
. (3.40)
Çäåñü h  âûñîòà ñå÷åíèÿ òðóáêè òîêà ñ êîîðäèíàòîé
l
. Î÷åâèäíî, ÷òî
pph)() (l = , pph
11 1 1
() ()l = . Ïîñòîÿííàÿ â (3.40) îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ñêî-
ðîñòè v
1
è âûñîòû h
1
äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ñå÷åíèÿ ñ êîîðäèíàòîé l
1
. Ñ ó÷åòîì
ýòîãî, óðàâíåíèå (3.40) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
56                                                        Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
        Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà è óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè.
        Äèíàìèêà ñæèìàåìîé æèäêîñòè òàêæå áàçèðóåòñÿ íà 2-ì çàêîíå Íüþ-
òîíà, çàïèñàííîì äëÿ åäèíèöû ìàññû æèäêîñòè. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâ-
ëåíèÿ è âíåøíèõ ñèë ñîçäàåò óñêîðåíèå åäèíèöû ìàññû, ïîýòîìó
                                    ∂                 1
                                     + v ⋅ grad  v = − grad p + F ,             (3.35)
                                     ∂t               ρ
ãäå F — âíåøíÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ìàññû. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïÿòè íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (vx, vy, vz, p è ρ) íåîáõîäèìî äîïîëíèòü (3.35)
óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè (3.34) è ìàòåðèàëüíûì óðàâíåíèåì, ñâÿçûâàþ-
ùèì ïëîòíîñòü è äàâëåíèå:
                                                            p = p(ρ) .            (3.36)
        Ñèñòåìà (3.34) — (3.36) íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà äëÿ ñæè-
ìàåìîé æèäêîñòè. Îãðîìíîå êîëè÷åñòâî çàäà÷ ãàçîäèíàìèêè ðåøàåòñÿ íà îñ-
íîâå ýòèõ óðàâíåíèé.
        Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (3.35) è ïîëó÷èì óðàâíåíèå Áåðíóëëè. Äëÿ
ýòîãî âèäîèçìåíèì ïðàâóþ ÷àñòü (3.35), ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ P
(2.27), è ó÷òåì (2.29), ò.å. ââåäåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ åäèíèöû ìàññû U1.
Òîãäà (3.35) ïðèìåò âèä
                                     ¶          
                                         + vgrad v = − grad(P+U1 ) .            (3.37)
                                      ¶t        

                                                ∂v
       Ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè                    = 0 .  íàïðàâëåíèè îñè òðóáêè òîêà
                                                ∂t
(âäîëü êðèâîëèíåéíîé êîîðäèíàòû l ) ìîæíî çàïèñàòü
                                            d       d
                                        v
                                            dl
                                               v =−
                                                    dl
                                                       (P + U1 ) .                (3.38)

Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû ìàññû U1 (l) = U1 ( h ) = gh + const ,
            p ( l)
                        dp
à P(l) =      ∫          ρ
                           , òî, ïî àíàëîãèè ñ (3.13), ïåðåïèøåì (3.38) â âèäå
           p1 ( l 1   )


                                        d  v 2                         
                                                       p(l)
                                                                 dp       = 0.
                                        dl  2
                                                 +        ∫ ρ       + gh         (3.39)
                                                       p1 (l 1 )         
Èíòåãðèðóÿ (3.39) âäîëü òðóáêè òîêà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ñæè-
ìàåìîé æèäêîñòè:
                                                 p( h )
                                         v2                 dp
                                         2
                                            +      ∫         ρ
                                                               + gh = const .     (3.40)
                                                p1 ( h1 )

Çäåñü h — âûñîòà ñå÷åíèÿ òðóáêè òîêà ñ êîîðäèíàòîé l . Î÷åâèäíî, ÷òî
p(l) = p(h) , p1 (l 1 ) = p1 (h 1 ) . Ïîñòîÿííàÿ â (3.40) îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ñêî-
ðîñòè v1 è âûñîòû h1 äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ñå÷åíèÿ ñ êîîðäèíàòîé l 1 . Ñ ó÷åòîì
ýòîãî, óðàâíåíèå (3.40) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

Страницы