Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

53
Ëåêöèÿ 3
Ââåäåì ïîíÿòèå ýëåìåíòàðíîãî ïîòîêà âåêòîðà ñêîðîñòè v ÷åðåç ïëî-
ùàäêó dS:
dN v dS d
v
=⋅ ⋅ =cos α vS, (3.25)
ãäå dS = ndS âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî íîðìàëè n ê ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå.
ßñíî, ÷òî ïîòîê (3.25) ðàâåí îáúåìó æèäêîñòè, ïåðåñåêàþùåé ïëîùàäêó dS çà
åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ. 3.12). Îí äîïóñêàåò òàêæå íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èí-
òåðïðåòàöèþ. Â ñàìîì äåëå, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ëèíèé òîêà, äàííûì â
íà÷àëå ýòîé ëåêöèè, èõ ãóñòîòà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü òå÷åíèÿ. Ïîýòîìó âåëè÷èíå
ñêîðîñòè âñåãäà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîëè÷åñòâî ëèíèé òîêà, ïåðåñå-
êàþùèõ ïëîùàäêó ñ dS = 1 è n || v. Òîãäà ïîòîê dN
v
â (3.25) áóäåò îïðåäåëÿòü
÷èñëî ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ ïëîùàäêó ïðè åå ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè.
Òåïåðü ëåãêî ïîäñ÷èòàòü áàëàíñ ìåæäó âòåêàþùåé è âûòåêàþùåé æèä-
êîñòüþ äëÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.12. Äëÿ ýòîãî âîñ-
ñòàíîâèì âíåøíèå íîðìàëè
êî âñåì øåñòè ãðàíÿì êóáèêà
è îöåíèì ïîòîêè æèäêîñòè
÷åðåç ýòè ãðàíè. Ëåãêî ïîíÿòü,
÷òî ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå
ïîòîêà áóäåò äëÿ âûòåêàþùåé
æèäêîñòè, à îòðèöàòåëüíîå 
äëÿ âòåêàþùåé. Åñëè ñêîðîñòü
â öåíòðå êóáèêà v(x,y,z) èç-
ìåíÿåòñÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ê
ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíÿì, òî
ïðè âû÷èñëåíèÿõ ýòî íåîáõî-
äèìî ó÷åñòü. Ðåçóëüòèðóþùèé
ïîòîê îïðåäåëèòñÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
dN v x
dx
y, z t v x
dx
y, z t dydz
vxy
dy
zt v xy
dy
zt dxdz
vxy,z
dz
tvxy,z
dz
tdxdy
vx x
yy
zz
=+
−−
+
+
−−
+
+
−−
22
22
22
,, ,,
,,, ,,,
,,,,.
(3.26)
Ðàçäåëèâ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (3.26) íà dxdydz è ðàçëàãàÿ êîìïîíåíòû ñêî-
ðîñòè â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â ðÿä Òåéëîðà, ïîëó÷àåì
dN
dxdydz
div
v
= v
. (3.27)
Òàêèì îáðàçîì, äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ÷èñëåííî ðàâíà ïîòî-
êó æèäêîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü åäèíè÷íîãî îáúåìà. Åñëè æèäêîñòü íåñæèìà-
åìà, òî, åñòåñòâåííî, ýòîò ïîòîê äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ (ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî âíóòðè îáúåìà íåò èñòîêîâ è ñòîêîâ æèäêîñòè). Ãðàôè÷åñêè ïîñëåäíåå
èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ðàâåíñòâî êîëè÷åñòâà âõîäÿùèõ è âûõîäÿùèõ ëèíèé
Ðèñ. 3.12
z
v
v
v
(x,y+,z,t)
v
(x,y,z+,t)
v
(x+,y,z,t)
n
n
y
dy
dS
dz
dx
2
2
2
x
α
α
Ëåêöèÿ 3                                                                               53
      Ââåäåì ïîíÿòèå ýëåìåíòàðíîãî ïîòîêà âåêòîðà ñêîðîñòè v ÷åðåç ïëî-
ùàäêó dS:
                               dN v = v ⋅ dS ⋅ cos α = vdS ,              (3.25)
ãäå dS = ndS — âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî íîðìàëè n ê ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå.
ßñíî, ÷òî ïîòîê (3.25) ðàâåí îáúåìó æèäêîñòè, ïåðåñåêàþùåé ïëîùàäêó dS çà
åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ. 3.12). Îí äîïóñêàåò òàêæå íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èí-
òåðïðåòàöèþ. Â ñàìîì äåëå, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ëèíèé òîêà, äàííûì â
íà÷àëå ýòîé ëåêöèè, èõ ãóñòîòà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü òå÷åíèÿ. Ïîýòîìó âåëè÷èíå
ñêîðîñòè âñåãäà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîëè÷åñòâî ëèíèé òîêà, ïåðåñå-
êàþùèõ ïëîùàäêó ñ dS = 1 è n || v. Òîãäà ïîòîê dNv â (3.25) áóäåò îïðåäåëÿòü
÷èñëî ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ ïëîùàäêó ïðè åå ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè.
        Òåïåðü ëåãêî ïîäñ÷èòàòü áàëàíñ ìåæäó âòåêàþùåé è âûòåêàþùåé æèä-
êîñòüþ äëÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.12. Äëÿ ýòîãî âîñ-
ñòàíîâèì âíåøíèå íîðìàëè
êî âñåì øåñòè ãðàíÿì êóáèêà
                                                        dz
                                             v(x,y,z+—,t)                dy
                                                         2         v(x,y+—,z,t)
è îöåíèì ïîòîêè æèäêîñòè                                                  2
÷åðåç ýòè ãðàíè. Ëåãêî ïîíÿòü,        z
÷òî ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå                                       α n
ïîòîêà áóäåò äëÿ âûòåêàþùåé
                                                                 v
æèäêîñòè, à îòðèöàòåëüíîå —                     dx
                                         v(x+—,y,z,t)
äëÿ âòåêàþùåé. Åñëè ñêîðîñòü                     2
â öåíòðå êóáèêà v(x,y,z) èç-                                                v
ìåíÿåòñÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ê
                                                         y               α n
ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíÿì, òî x                                    dS
ïðè âû÷èñëåíèÿõ ýòî íåîáõî-
äèìî ó÷åñòü. Ðåçóëüòèðóþùèé
ïîòîê îïðåäåëèòñÿ ñëåäóþ-                             Ðèñ. 3.12
ùèì îáðàçîì:

                              dx                      dx          
             dN v =  v x  x +    , y, z, t − v x  x −    , y, z, t  dydz +
                              2                       2           
                                    dy                      dy       
                       v y  x, y +    , z, t − v y  x, y −
                                                      
                                                                   , z, t dxdz +
                                                                         
                                      2                        2
                                       dz                     dz               (3.26)
                       v z  x, y, z +   , t − v z  x, y, z −
                                                     
                                                                    , t dxdy .
                                        2                        2 


Ðàçäåëèâ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (3.26) íà dxdydz è ðàçëàãàÿ êîìïîíåíòû ñêî-
ðîñòè â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â ðÿä Òåéëîðà, ïîëó÷àåì
                                            dN v
                                                  = div v .                          (3.27)
                                           dxdydz
       Òàêèì îáðàçîì, äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ÷èñëåííî ðàâíà ïîòî-
êó æèäêîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü åäèíè÷íîãî îáúåìà. Åñëè æèäêîñòü íåñæèìà-
åìà, òî, åñòåñòâåííî, ýòîò ïîòîê äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ (ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî âíóòðè îáúåìà íåò èñòîêîâ è ñòîêîâ æèäêîñòè). Ãðàôè÷åñêè ïîñëåäíåå
èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ðàâåíñòâî êîëè÷åñòâà âõîäÿùèõ è âûõîäÿùèõ ëèíèé

Страницы