Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

64 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ïëîñêèõ ïàðàëëåëüíûõ ñëîåâ, äâèæóùèõñÿ ðàâíîìåðíî (ðèñ. 4.2). Íåòðóäíî
ïîíÿòü, ÷òî êàæäûé âûøåëåæàùèé ñëîé óâëåêàåò çà ñîáîé íèæíèé ñîñåäíèé
ñëîé ñ ñèëîé
τ
F .  ñâîþ î÷åðåäü, ýòîò íèæíèé ñëîé òîðìîçèò äâèæåíèå âåð-
õíåãî ñëîÿ ñ òîé æå ñèëîé
τ
F . Íà êàæäûé ñëîé äåéñòâóþò ñâåðõó è ñíèçó äâå
ðàâíûå, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå ñèëû. Ñêîðîñòü ñëîåâ âîçðàñòàåò
îò íèæíåãî ñëîÿ ê âåðõíåìó ëèíåéíî (ðèñ. 4.2), à ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùèå
íà êàæäûé èç ñëîåâ, îäèíàêîâû. Êàê ðåçóëüòàò, óñèëèå
τ
=
FF
, ïðèëîæåííîå
ê âåðõíåé ïëàñòèíå, ïåðåäàåòñÿ íà íèæíþþ ïëàñòèíó. Êîýôôèöèåíò âÿçêîñ-
òè æèäêîñòè
µ
ìîæíî îïðåäåëèòü ýêñïåðèìåíòàëüíî, íàïðèìåð, ïî ñêîðîñ-
òè åå èñòå÷åíèÿ ÷åðåç òðóáêó èçâåñòíûõ ðàçìåðîâ (ñì. íèæå). Êàê ïîêàçûâàåò
îïûò, ïðè íàãðåâàíèè âÿçêîñòü æèäêîñòåé óìåíüøàåòñÿ, à ãàçîâ  óâåëè÷è-
âàåòñÿ. Îáúÿñíåíèå òàêîãî ðàçíîãî ïîâåäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè æèä-
êîñòåé è ãàçîâ áóäåò äàíî â êóðñå «Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà».
Òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè. Óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà.
Äëÿ àíàëèçà òå÷åíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâè-
æåíèÿ (3.28) íåîáõîäèìî äîáàâèòü ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííóþ ê åäè-
íèöå îáúåìà æèäêîñòè. Äëÿ ïðî-
ñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðå-
íèåì òå÷åíèÿ æèäêîñòè â íà-
ïðàâëåíèè îñè x, ïðè ýòîì
åäèíñòâåííàÿ êîìïîíåíòà ñêî-
ðîñòè v
x
áóäåò çàâèñåòü îò ïîïå-
ðå÷íîé êîîðäèíàòû y (ðèñ. 4.3).
Íà âåðõíþþ ãðàíü dxdz êóáèêà
dxdydz (îñü z ïåðïåíäèêóëÿðíà
ïëîñêîñòè ÷åðòåæà) â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ (4.1) â íàïðàâëåíèè îñè
x äåéñòâóåò óâëåêàþùàÿ ñèëà
dyy
x
dy
dv
dxdzF
x
+
τ
µ=
′
, à íà íèæíþþ ãðàíü  òîðìîçÿùàÿ ñèëà
y
x
dy
dv
dxdzF
x
µ−=
′′
τ
.
Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííàÿ ê âûäåëåííîìó êóáè-
êó, ðàâíà
FF F
xx
ττ τ
=′+′′
, (4.2)
à ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê åäèíè÷íîìó îáúåìó, ñîñòàâèò
2
x
2
dy
vd
dxdydz
F
f
x
µ==
τ
τ
. (4.3)
Ïðè ëèíåéíîì èçìåíåíèè ñêîðîñòè îò ñëîÿ ê ñëîþ, êàê íà ðèñ. 4.2,
0f =
τ
.
Åñëè ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ íåëèíåéíî, êàê íà ðèñ. 4.3, òî
f
τ
≠
0
. Â îáùåì
ñëó÷àå ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, èìååò òðè êîìïîíåíòû
{}
f
ττττ
=
f
xyz
,, f f
, ãäå
Ðèñ. 4.3
y
dx
dy
x
v (y)
x
64                                                                 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ïëîñêèõ ïàðàëëåëüíûõ ñëîåâ, äâèæóùèõñÿ ðàâíîìåðíî (ðèñ. 4.2). Íåòðóäíî
ïîíÿòü, ÷òî êàæäûé âûøåëåæàùèé ñëîé óâëåêàåò çà ñîáîé íèæíèé ñîñåäíèé
ñëîé ñ ñèëîé Fτ .  ñâîþ î÷åðåäü, ýòîò íèæíèé ñëîé òîðìîçèò äâèæåíèå âåð-
õíåãî ñëîÿ ñ òîé æå ñèëîé Fτ . Íà êàæäûé ñëîé äåéñòâóþò ñâåðõó è ñíèçó äâå
ðàâíûå, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå ñèëû. Ñêîðîñòü ñëîåâ âîçðàñòàåò
îò íèæíåãî ñëîÿ ê âåðõíåìó ëèíåéíî (ðèñ. 4.2), à ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùèå
íà êàæäûé èç ñëîåâ, îäèíàêîâû. Êàê ðåçóëüòàò, óñèëèå F = Fτ , ïðèëîæåííîå
ê âåðõíåé ïëàñòèíå, ïåðåäàåòñÿ íà íèæíþþ ïëàñòèíó. Êîýôôèöèåíò âÿçêîñ-
òè æèäêîñòè µ ìîæíî îïðåäåëèòü ýêñïåðèìåíòàëüíî, íàïðèìåð, ïî ñêîðîñ-
òè åå èñòå÷åíèÿ ÷åðåç òðóáêó èçâåñòíûõ ðàçìåðîâ (ñì. íèæå). Êàê ïîêàçûâàåò
îïûò, ïðè íàãðåâàíèè âÿçêîñòü æèäêîñòåé óìåíüøàåòñÿ, à ãàçî⠗ óâåëè÷è-
âàåòñÿ. Îáúÿñíåíèå òàêîãî ðàçíîãî ïîâåäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè æèä-
êîñòåé è ãàçîâ áóäåò äàíî â êóðñå «Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà».


       Òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè. Óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà.
       Äëÿ àíàëèçà òå÷åíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâè-
æåíèÿ (3.28) íåîáõîäèìî äîáàâèòü ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííóþ ê åäè-
                                           íèöå îáúåìà æèäêîñòè. Äëÿ ïðî-
 y                                         ñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðå-
                                v x (y) íèåì     òå÷åíèÿ æèäêîñòè â íà-
                                           ïðàâëåíèè îñè x, ïðè ýòîì
                                           åäèíñòâåííàÿ êîìïîíåíòà ñêî-
                                           ðîñòè vx áóäåò çàâèñåòü îò ïîïå-
dy                                         ðå÷íîé êîîðäèíàòû y (ðèñ. 4.3).
                                       x Íà âåðõíþþ ãðàíü dxdz êóáèêà
                                           dxdydz (îñü z ïåðïåíäèêóëÿðíà
              dx                           ïëîñêîñòè ÷åðòåæà) â ñîîòâåò-
                                           ñòâèè ñ (4.1) â íàïðàâëåíèè îñè
                  Ðèñ. 4.3                 x äåéñòâóåò óâëåêàþùàÿ ñèëà
                    dv x                                                                   dv x
Fτ′ x = µdxdz                       , à íà íèæíþþ ãðàíü — òîðìîçÿùàÿ ñèëà Fτ′′x = −µdxdz              .
                     dy    y + dy                                                           dy    y
Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííàÿ ê âûäåëåííîìó êóáè-
êó, ðàâíà
                                                       Fτ = Fτ′x + Fτ′′x ,                   (4.2)
à ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê åäèíè÷íîìó îáúåìó, ñîñòàâèò
                                                         Fτ      d2vx
                                              f τx =          =µ      .                      (4.3)
                                                       dxdydz    dy 2
Ïðè ëèíåéíîì èçìåíåíèè ñêîðîñòè îò ñëîÿ ê ñëîþ, êàê íà ðèñ. 4.2, f τ = 0 .
Åñëè ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ íåëèíåéíî, êàê íà ðèñ. 4.3, òî f τ ≠ 0 . Â îáùåì
ñëó÷àå ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, èìååò òðè êîìïîíåíòû

fτ =   {f   τx ,             }
                   f τ y , f τ z , ãäå

Страницы