Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

66 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ óáûâàþò ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿ-
íèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè.  îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëû âÿçêîñòè,
âîçíèêàþùèå â ïîòîêå, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòó õàðàêòåðíîãî ïîïå-
ðå÷íîãî ðàçìåðà ïîòîêà è ïðîïîðöèîíàëüíû ñêîðîñòè.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ äèíàìèêè (ñì. óðàâíåíèå 4.5) ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ
ñèë F âÿçêîñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, åñëè ñèëû äàâëåíèÿ  grad p çíà÷èòåëüíî
ïðåâîñõîäÿò ñèëû âÿçêîñòè
v∆µ
. Ýòîò ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò óñêîðåííîìó äâè-
æåíèþ æèäêîñòè, êàê, íàïðèìåð, ïðè òå÷åíèè èäåàëüíîé æèäêîñòè ïî ãî-
ðèçîíòàëüíîé òðóáå ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ (ñì. Ëåêöèþ 3).
Ñëåäóåò, îäíàêî, ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ëàìèíàðíîå òå÷åíèå æèäêîñòè,
ðàññìàòðèâàåìîé â ðÿäå ñëó÷àåâ êàê èäåàëüíàÿ, òåì íå ìåíåå îáÿçàíî íàëè-
÷èþ âÿçêîñòè.  îòñóòñòâèå âÿçêîñòè òå÷åíèå
æèäêîñòè áóäåò íåóñòîé÷èâûì.  ñàìîì äåëå, èç-
çà ôëóêòóàöèé ñêîðîñòè ÷àñòèö ëèíèè òîêà ñòðå-
ìÿòñÿ èñêðèâèòüñÿ, è ÷àñòèöû â íèõ áóäóò äâè-
ãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì. Äàâëåíèÿ p
1
è p
2
ïî ðàç-
íûå ñòîðîíû èçîãíóòîé òðóáêè òîêà áóäóò ðàç-
ëè÷íûìè: p
2
>p
1
(ðèñ. 4.5). Âîçíèêàþùèé ãðà-
äèåíò äàâëåíèÿ ñâÿçàí ñ óñêîðåíèåì ÷àñòèö
æèäêîñòè óðàâíåíèåì:
pgrad
dt
d
−≅ρ
v
. (4.7)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì óðàâíåíèåì Íàâüå-Ñòî-
êñà (µ=0) è çàïèñàíî â îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë.  ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèé
ìàëîñòè ñèë âÿçêîñòè ñâîäèòñÿ ê íåðàâåíñòâó
1
dt
d pgrad
<
ρ
∆µ
≈
∆µ
v
vv
. (4.8)
 ãèäðîäèíàìèêå î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóþò ïîíÿòèå ñèëû èíåðöèè
F
è
=−ρ
d
dt
v
. Ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, äâèæóùåãîñÿ âìåñòå ñ ÷àñòèöåé
æèäêîñòè, îíà íàõîäèòñÿ â ïîêîå, ïîòîìó ÷òî ñèëû äàâëåíèÿ, âÿçêîñòè è
èíåðöèè óðàâíîâåøèâàþò äðóã äðóãà (ñì. (4.5)):
F
è
−+=grad p µ∆v 0
. (4.9)
Íåðàâåíñòâî (4.8) îçíà÷àåò, ÷òî ñèëû âÿçêîñòè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå
ñèë èíåðöèè.  ñëó÷àå òå÷åíèÿ æèäêîñòè ìåæäó ïëàñòèíàìè ñèëû èíåðöèè
ïðè èñêðèâëåíèè òðóáîê òîêà æèäêîñòè
F
è
=− −ρρ
dv
dt
v
h
~
2
, (4.10)
ãäå
v
h
2
 õàðàêòåðíîå öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå.  îáùåì ñëó÷àå ñèëû
èíåðöèè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ïîïåðå÷íîìó ðàçìåðó ïîòîêà è ïðîïîðöèî-
íàëüíû êâàäðàòó ñêîðîñòè. Ñ ó÷åòîì îöåíîê (4.6) è (4.10) óñëîâèå (4.8) ïåðå-
ïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ðèñ. 4.5
p
p
1
2
66                                               Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ óáûâàþò ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿ-
íèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè.  îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëû âÿçêîñòè,
âîçíèêàþùèå â ïîòîêå, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòó õàðàêòåðíîãî ïîïå-
ðå÷íîãî ðàçìåðà ïîòîêà è ïðîïîðöèîíàëüíû ñêîðîñòè.
       Ñ òî÷êè çðåíèÿ äèíàìèêè (ñì. óðàâíåíèå 4.5) ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ
ñèë F âÿçêîñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, åñëè ñèëû äàâëåíèÿ – grad p çíà÷èòåëüíî
ïðåâîñõîäÿò ñèëû âÿçêîñòè µ∆v . Ýòîò ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò óñêîðåííîìó äâè-
æåíèþ æèäêîñòè, êàê, íàïðèìåð, ïðè òå÷åíèè èäåàëüíîé æèäêîñòè ïî ãî-
ðèçîíòàëüíîé òðóáå ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ (ñì. Ëåêöèþ 3).
       Ñëåäóåò, îäíàêî, ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ëàìèíàðíîå òå÷åíèå æèäêîñòè,
ðàññìàòðèâàåìîé â ðÿäå ñëó÷àåâ êàê èäåàëüíàÿ, òåì íå ìåíåå îáÿçàíî íàëè-
                            ÷èþ âÿçêîñòè.  îòñóòñòâèå âÿçêîñòè òå÷åíèå
                            æèäêîñòè áóäåò íåóñòîé÷èâûì.  ñàìîì äåëå, èç-
                            çà ôëóêòóàöèé ñêîðîñòè ÷àñòèö ëèíèè òîêà ñòðå-
                p 1         ìÿòñÿ èñêðèâèòüñÿ, è ÷àñòèöû â íèõ áóäóò äâè-
                            ãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì. Äàâëåíèÿ p1 è p2 ïî ðàç-
            p 2             íûå ñòîðîíû èçîãíóòîé òðóáêè òîêà áóäóò ðàç-
                            ëè÷íûìè: p2>p1 (ðèñ. 4.5). Âîçíèêàþùèé ãðà-
          Ðèñ. 4.5          äèåíò  äàâëåíèÿ ñâÿçàí ñ óñêîðåíèåì ÷àñòèö
                            æèäêîñòè óðàâíåíèåì:
                                   dv
                                   ρ  ≅ − grad p .                (4.7)
                                   dt
       Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì óðàâíåíèåì Íàâüå-Ñòî-
êñà (µ=0) è çàïèñàíî â îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë.  ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèé
ìàëîñòè ñèë âÿçêîñòè ñâîäèòñÿ ê íåðàâåíñòâó
                                       µ∆v       µ∆v
                                             ≈          < 1.           (4.8)
                                   grad p          dv
                                                 ρ
                                                   dt
        ãèäðîäèíàìèêå î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóþò ïîíÿòèå ñèëû èíåðöèè

Fè = −ρ dv . Ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, äâèæóùåãîñÿ âìåñòå ñ ÷àñòèöåé
        dt
æèäêîñòè, îíà íàõîäèòñÿ â ïîêîå, ïîòîìó ÷òî ñèëû äàâëåíèÿ, âÿçêîñòè è
èíåðöèè óðàâíîâåøèâàþò äðóã äðóãà (ñì. (4.5)):
                                Fè − grad p + µ∆v = 0 .            (4.9)
      Íåðàâåíñòâî (4.8) îçíà÷àåò, ÷òî ñèëû âÿçêîñòè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå
ñèë èíåðöèè.  ñëó÷àå òå÷åíèÿ æèäêîñòè ìåæäó ïëàñòèíàìè ñèëû èíåðöèè
ïðè èñêðèâëåíèè òðóáîê òîêà æèäêîñòè
                                             dv      v2
                                  Fè = − ρ      ~ −ρ    ,             (4.10)
                                             dt      h

    v2
ãäå     — õàðàêòåðíîå öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå.  îáùåì ñëó÷àå ñèëû
     h
èíåðöèè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ïîïåðå÷íîìó ðàçìåðó ïîòîêà è ïðîïîðöèî-
íàëüíû êâàäðàòó ñêîðîñòè. Ñ ó÷åòîì îöåíîê (4.6) è (4.10) óñëîâèå (4.8) ïåðå-
ïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Страницы