Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

68 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
0 pgrad =∆µ+− v . (4.12)
Ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïî-
òîêà âÿçêîé æèäêîñòè ìîæíî íàáëþäàòü ïðè åå âûòåêàíèè èç
âåðòèêàëüíîé òðóáêè ÷åðåç óçêîå îòâåðñòèå (ðèñ. 4.7). Åñëè,
íàïðèìåð, ïðè çàêðûòîì êðàíå Ê íàëèòü âíà÷àëå íåïîäêðà-
øåííûé ãëèöåðèí, à çàòåì ñâåðõó îñòîðîæíî äîáàâèòü ïîä-
êðàøåííûé, òî â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ãðàíèöà ðàçäåëà Ã
áóäåò ãîðèçîíòàëüíîé. Åñëè êðàí Ê îòêðûòü, òî ãðàíèöà ïðè-
ìåò ôîðìó, ïîõîæóþ íà ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ. Ýòî óêàçûâàåò
íà ñóùåñòâîâàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòåé â ñå÷åíèè òðóáêè
ïðè âÿçêîì òå÷åíèè ãëèöåðèíà. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî íàé-
òè, ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (4.12), çàïèñàííîå â öèëèí-
äðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (x, r). Îäíàêî ìîæíî ïîñòóïèòü è ïðî-
ùå. Ïðèðàâíÿåì íóëþ ñóììó ñèë âÿçêîñòè è äàâëåíèÿ, äåé-
ñòâóþùèõ íà öèëèíäðè÷åñêèé îáúåì æèäêîñòè ðàäèóñà r è
äëèíîé dx (ðèñ. 4.8):
()
0
dr
dv
rdx2r)dxx(p)x(p
2
=πµ+π+−
. (4.13)
Îòìåòèì, ÷òî ðàâ-
íîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâëå-
íèÿ íàïðàâëåíà ïî ïîòîêó
(âäîëü îñè x), à ñèëà âÿç-
êîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííàÿ
ê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè âû-
äåëåííîãî öèëèíäðà 
ïðîòèâ ïîòîêà, ïîñêîëüêó
dv/dr<0. Ïðîèçâåäÿ ñîêðà-
ùåíèå è ðàçäåëèâ (4.13) íà
dx, ïîëó÷àåì
0
dr
dv
r
2
dx
dp
=µ+−
. (4.14)
Âåëè÷èíà ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ
dx
dp
â (4.14) íå çàâèñèò îò ðàäèóñà r, ò.ê. äàâëå-
íèå p = p(x) è â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè x = const íå ìåíÿåòñÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò
ïðîèíòåãðèðîâàòü (4.14):
∫∫
µ=
r
R
v
0
dv2rdr
dx
dp
. (4.15)
Óðàâíåíèå (4.15) äàåò âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé )r(v
ïðè óñëîâèè, ÷òî ó ñòåíîê òðóáû ýòà ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Èç (4.15) ïîëó÷àåì
()
22
rR
dx
dp
4
1
)r(v
−
µ
−=
. (4.16)
Äàâëåíèå ðàâíîìåðíî ïàäàåò â íàïðàâëåíèè îñè x, ïîýòîìó
0
dx
dp
>−
r
x
v(r)
r
l
dx
P(x)
P(x+dx)
R
0
Ðèñ. 4.7
Ðèñ. 4.8
Ã
Ê
68                                                    Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä

                                         − grad p + µ∆v = 0 .          (4.12)
                         Ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïî-
                 òîêà âÿçêîé æèäêîñòè ìîæíî íàáëþäàòü ïðè åå âûòåêàíèè èç
         à       âåðòèêàëüíîé òðóáêè ÷åðåç óçêîå îòâåðñòèå (ðèñ. 4.7). Åñëè,
                 íàïðèìåð, ïðè çàêðûòîì êðàíå Ê íàëèòü âíà÷àëå íåïîäêðà-
                 øåííûé ãëèöåðèí, à çàòåì ñâåðõó îñòîðîæíî äîáàâèòü ïîä-
                 êðàøåííûé, òî â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ãðàíèöà ðàçäåëà Ã
                 áóäåò ãîðèçîíòàëüíîé. Åñëè êðàí Ê îòêðûòü, òî ãðàíèöà ïðè-
                 ìåò ôîðìó, ïîõîæóþ íà ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ. Ýòî óêàçûâàåò
                 íà ñóùåñòâîâàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòåé â ñå÷åíèè òðóáêè
                 ïðè âÿçêîì òå÷åíèè ãëèöåðèíà. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî íàé-
                 òè, ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (4.12), çàïèñàííîå â öèëèí-
             Ê   äðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (x, r). Îäíàêî ìîæíî ïîñòóïèòü è ïðî-
                 ùå. Ïðèðàâíÿåì íóëþ ñóììó ñèë âÿçêîñòè è äàâëåíèÿ, äåé-
                 ñòâóþùèõ íà öèëèíäðè÷åñêèé îáúåì æèäêîñòè ðàäèóñà r è
     Ðèñ. 4.7    äëèíîé dx (ðèñ. 4.8):

                        (p(x) − p(x + dx))πr 2 + µ2πrdx dv         = 0.                (4.13)
                                                              dr
                                                                           Îòìåòèì, ÷òî ðàâ-
                                                                   íîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâëå-
R r                                            v(r)                íèÿ íàïðàâëåíà ïî ïîòîêó
       P(x)                                                        (âäîëü îñè x), à ñèëà âÿç-
                        r                                 x
                                                                   êîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííàÿ
 0                                                                 ê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè âû-
                 dx      P(x+dx)                                   äåëåííîãî öèëèíäðà —
                                                                   ïðîòèâ ïîòîêà, ïîñêîëüêó
                                                                   dv/dr<0. Ïðîèçâåäÿ ñîêðà-
                  l                                                ùåíèå è ðàçäåëèâ (4.13) íà
                      Ðèñ. 4.8                                     dx, ïîëó÷àåì
                                        dp    2 dv
                                    −      +µ      = 0.                                (4.14)
                                        dx    r dr
                             dp
Âåëè÷èíà ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ     â (4.14) íå çàâèñèò îò ðàäèóñà r, ò.ê. äàâëå-
                             dx
íèå p = p(x) è â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè x = const íå ìåíÿåòñÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò
ïðîèíòåãðèðîâàòü (4.14):
                                               r          v
                                        dp
                                        dx R∫
                                              rdr = 2µ ∫ dv .                          (4.15)
                                                       0

Óðàâíåíèå (4.15) äàåò âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé v(r )
ïðè óñëîâèè, ÷òî ó ñòåíîê òðóáû ýòà ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Èç (4.15) ïîëó÷àåì

                                  v (r ) = −
                                                1 dp 2
                                               4µ dx
                                                      (
                                                     R − r2 .      )                   (4.16)

                                                                                      dp
        Äàâëåíèå ðàâíîìåðíî ïàäàåò â íàïðàâëåíèè îñè x, ïîýòîìó −                        >0
                                                                                      dx

Страницы