Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

65
Ëåêöèÿ 4
x
2
x
2
2
x
2
2
x
2
v
z
v
y
v
x
v
f
x
∆µ=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
µ=
τ
,
y
2
y
2
2
y
2
2
y
2
v
z
v
y
v
x
v
f
y
∆µ=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
µ=
τ
, (4.4)
z
2
z
2
2
z
2
2
z
2
v
z
v
y
v
x
v
f
z
∆µ=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
µ=
τ
.
 (4.4) èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå
2
2
2
2
2
2
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
 îïåðàòîð Ëàïëàñà,
ïðèìåíÿåìûé â ìàòåìàòèêå è â ôèçèêå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè. Åñëè òåïåðü
êîìïîíåíòû ñèëû òðåíèÿ (4.4) ïîäñòàâèòü â ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (3.30)
äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ñêîðîñòåé, òî ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíå-
íèé ãèäðîäèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòè. Ýòè òðè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñà-
íû â âèäå îäíîãî âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ
vFvv ∆µ+−=
+
∂
∂
ρ gradpgrad
t
. (4.5)
Îíî îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîãî èç óðàâíåíèé (3.31) íàëè÷èåì ÷ëåíà
v∆µ
â ïðàâîé
÷àñòè. Óðàâíåíèå (4.5) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Íàâüå-Ñòîêñà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâ-
íûì ïðè ðàñ÷åòå äâèæåíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Îáùåå àíàëèòè÷åñ-
êîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ íå ïîëó÷åíî, è ïîýòîìó äëÿ åãî ðåøåíèÿ èñïîëü-
çóþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû. Íà ïðàêòèêå èíîãäà ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ÷àñ-
òíûìè çàäà÷àìè. Îäíîé èç òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ òå÷åíèå íåâÿçêîé íåñæèìàåìîé
æèäêîñòè. Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ñæèìàåìîñòüþ æèäêîñòè
èëè ãàçà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òåïåðü âûÿñíèì, â êàêèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
ñèëàìè âÿçêîñòè.
×èñëî Ðåéíîëüäñà. Êðèòåðèé ïðåíåáðåæåíèÿ âÿçêîñòüþ.
Ðàññìîòðèì òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ íåïîäâèæíû-
ìè ãîðèçîíòàëüíûìè ïëàñòèíàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî h,
ïîä äåéñòâèåì ñèë äàâëåíèÿ. Ïîñêîëüêó ÷àñòèöû æèäêîñòè «ïðèëèïàþò»
ê ïëàñòèíàì, òî ñêîðîñòè ñëîåâ
æèäêîñòè áóäóò ðàçëè÷íûìè. Êà-
÷åñòâåííî ðàñïðåäåëåíèå ñêîðî-
ñòåé ñëîåâ èçîáðàæåíî íà ðèñ. 4.4.
Åñëè èçâåñòíà õàðàêòåðíàÿ ñêî-
ðîñòü òå÷åíèÿ (íàïðèìåð, ñêî-
ðîñòü v íà îñè ïîòîêà), òî ëåãêî
îöåíèòü ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ. Ñî-
ãëàñíî (4.3)
f
dv
dy
v
h
x
x
τ
µµ=
2
22
~
. (4.6)
y
h
x
v
Ðèñ. 4.4
Ëåêöèÿ 4                                                                   65

                         ∂2v x ∂2v x ∂2v x     
               f τ x = µ      +      +          = µ∆v x
                                                          ,
                         ∂x 2   ∂y 2   ∂z 2    
                                               

                         ∂2v y ∂2 v y ∂2v y   
               f τ y = µ      +      +         = µ∆v
                                                       y,                 (4.4)
                         ∂x 2   ∂y 2
                                        ∂z 2   
                                              

                        ∂2vz ∂2vz ∂2v z       
              f τ z = µ      +      +          = µ∆v z
                                                         .
                        ∂x 2   ∂y 2   ∂z 2    
                                              

                                          ∂2        ∂2       ∂2
 (4.4) èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå ∆ =            +        +
                                                   — îïåðàòîð Ëàïëàñà,
                                    ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
ïðèìåíÿåìûé â ìàòåìàòèêå è â ôèçèêå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè. Åñëè òåïåðü
êîìïîíåíòû ñèëû òðåíèÿ (4.4) ïîäñòàâèòü â ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (3.30)
äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ñêîðîñòåé, òî ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíå-
íèé ãèäðîäèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòè. Ýòè òðè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñà-
íû â âèäå îäíîãî âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ
                         ∂        
                        ρ + vgrad  v = F − gradp + µ∆v .                (4.5)
                          ∂t      
Îíî îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîãî èç óðàâíåíèé (3.31) íàëè÷èåì ÷ëåíà µ∆v â ïðàâîé
÷àñòè. Óðàâíåíèå (4.5) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Íàâüå-Ñòîêñà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâ-
íûì ïðè ðàñ÷åòå äâèæåíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Îáùåå àíàëèòè÷åñ-
êîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ íå ïîëó÷åíî, è ïîýòîìó äëÿ åãî ðåøåíèÿ èñïîëü-
çóþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû. Íà ïðàêòèêå èíîãäà ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ÷àñ-
òíûìè çàäà÷àìè. Îäíîé èç òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ òå÷åíèå íåâÿçêîé íåñæèìàåìîé
æèäêîñòè. Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ñæèìàåìîñòüþ æèäêîñòè
èëè ãàçà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òåïåðü âûÿñíèì, â êàêèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
ñèëàìè âÿçêîñòè.


       ×èñëî Ðåéíîëüäñà. Êðèòåðèé ïðåíåáðåæåíèÿ âÿçêîñòüþ.
       Ðàññìîòðèì òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ íåïîäâèæíû-
ìè ãîðèçîíòàëüíûìè ïëàñòèíàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî h,
ïîä äåéñòâèåì ñèë äàâëåíèÿ. Ïîñêîëüêó ÷àñòèöû æèäêîñòè «ïðèëèïàþò»
ê ïëàñòèíàì, òî ñêîðîñòè ñëîåâ      y
æèäêîñòè áóäóò ðàçëè÷íûìè. Êà-
÷åñòâåííî ðàñïðåäåëåíèå ñêîðî-
ñòåé ñëîåâ èçîáðàæåíî íà ðèñ. 4.4.                               v
Åñëè èçâåñòíà õàðàêòåðíàÿ ñêî-
ðîñòü òå÷åíèÿ (íàïðèìåð, ñêî- h
ðîñòü v íà îñè ïîòîêà), òî ëåãêî                                x
îöåíèòü ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ. Ñî-
ãëàñíî (4.3)                                  Ðèñ. 4.4
                                               d2vx     v
                                    f τx = µ      2.
                                                     ~µ 2         (4.6)
                                               dy      h

Страницы