Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 73 стр.

Ëåêöèÿ 4                                                                   73
öû äâèæóòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω , òî öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ïî
êîíòóðó ðàäèóñà r ñ öåíòðîì íà îñè ñëèâíîãî îòâåðñòèÿ è ëåæàùåìó â ïëîñ-
êîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ýòîé îñè, ðàâíà
                         Γ = v ⋅ 2πr = ωr 2πr = 2πr 2 ω .          (4.26)
Ïðè òàêîé îðèåíòàöèè êîíòóðà âåêòîð rot v áóäåò íàïðàâëåí ïî íîðìàëè n ê
êîíòóðó è ðàâåí
                                   Γ      2πr 2 ω
                             rotv =   n=          n = 2w .               (4.27)
                                  ∆S       πr 2
Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëó äëÿ âåêòîðà rot v â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:
                       ∂v  ∂v y      ∂v ∂v       ∂v y ∂v x 
              rot v =  z −      i +  x − z  j +      −     k .     (4.28)
                       ∂y   ∂z       ∂z ∂x       ∂x    ∂y 
Çäåñü i, j è k - åäèíè÷íûå âåêòîðû âäîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ äåêàðòîâûõ îñåé
êîîðäèíàò. Æåëàþùèå ìîãóò ïîäñ÷èòàòü (4.27), ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (4.28).

        Î òóðáóëåíòíîñòè àòìîñôåðû.
        Ïðè îïèñàíèè àòìîñôåðû ìû îòìå÷àëè, ÷òî â íèæíåì (ïðèçåìíîì)
ñëîå ïðîèñõîäèò èíòåíñèâíîå êîíâåêòèâíîå ïåðåìåøèâàíèå âîçäóõà. Ñêîðîñòü
âîçäóøíûõ ïîòîêîâ â êàæäîé òî÷êå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé âðåìåíè.
Ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ, íàïðèìåð, îïòè÷åñêèì ÿâëåíèåì ìåðöàíèÿ çâåçä, ñâåò
îò êîòîðûõ ðàññåèâàåòñÿ íà ñëó÷àéíûõ îáëàñòÿõ ñ ïîâûøåííîé è ïîíèæåííîé
ïëîòíîñòüþ àòìîñôåðû. Ýòî ÿâëåíèå àíàëîãè÷íî äðîæàíèþ è èñêàæåíèþ îáúåê-
òîâ, íàáëþäàåìûõ ÷åðåç ïðîñòðàíñòâî ñ ñèëüíûì èñïàðåíèåì âîäû ïîñëå äîæ-
äÿ â òåïëóþ ïîãîäó èëè áåíçèíà íà àâòîçàïðàâî÷íûõ ñòàíöèÿõ.
        Âàðèàöèè ñêîðîñòè â òóðáóëåíòíûõ ïîòîêàõ àòìîñôåðû òàêæå ÿâëÿ-
þòñÿ ñëó÷àéíûìè, ïîýòîìó îïèñàíèå äâèæåíèÿ àòìîñôåðû òðåáóåò ñòàòèñ-
òè÷åñêîãî ïîäõîäà.  ïîëíîì îáúåìå îñóùåñòâèòü òàêîå îïèñàíèå íåâîçìîæíî.
Î÷åíü ïëîäîòâîðíûì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ â âèäå
ñîâîêóïíîñòè âèõðåé ñ ðàçìåðàìè îò l 0 ~ 1 ìì äî L0~ 1 ì. Õàðàêòåðíûå ðàçìå-
ðû l 0 è L0 íîñÿò íàçâàíèå âíóòðåííåãî è âíåøíåãî ìàñøòàáîâ òóðáóëåíòíî-
ñòè, ïðè÷åì îáå âåëè÷èíû âîçðàñòàþò ïðè óäàëåíèè îò ïîâåðõíîñòè Çåìëè.
        Âíóòðåííèé ìàñøòàá âîçíèêàåò êàê ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ðàñ-
ïàäà áîëüøèõ, íî íåóñòîé÷èâûõ âèõðåé íà áîëåå ìåëêèå, êîòîðûå, â ñâîþ
î÷åðåäü, ðàñïàäàþòñÿ äàëüøå âïëîòü äî âèõðåé ðàçìåðîì ïîðÿäêà íåñêîëü-
êèõ ìèëëèìåòðîâ. Îöåíêó âåëè÷èíû âíóòðåííåãî ìàñøòàáà ìîæíî ïîëó÷èòü
èç ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé. Åñëè â ïîòîêå, äâèæóùåìñÿ ñî ñêîðîñ-
òüþ v, èìååòñÿ íåîäíîðîäíîñòü ñ ëèíåéíûì ðàçìåðîì ~ l , òî êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ, ïåðåíîñèìàÿ íåîäíîðîäíîñòüþ,
                                   mv 2
                                 Ek =   ~ ρl 3 v 2 .                (4.29)
                                    2
Èç-çà íàëè÷èÿ âÿçêîñòè ÷àñòü ýòîé ýíåðãèè äèññèïèðóåò â òåïëî. Åñëè íåî-
äíîðîäíîñòü ñìåùàåòñÿ íà ðàññòîÿíèå ~ l , òî êîëè÷åñòâî òåïëà Q ðàâíî ðà-
áîòå ñèë âÿçêîãî òðåíèÿ
                                               v
                            Q = Fò ð ⋅ l ~ µ     Sl ~ µvl 2 .            (4.30)
                                               l