Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

72 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ÿñíîãî ïîíèìàíèÿ âñåõ ñòàäèé ðàçâèòèÿ òóðáóëåíòíîñòè. Êëàññè÷åñêàÿ ëè-
íåéíàÿ òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äàåò êà÷åñòâåííî âåðíîå îïèñàíèå íà÷àëüíîé
ñòàäèè ðàçðóøåíèÿ ëàìèíàðíîñòè. ßñíî, ÷òî ïåðåõîä ê òóðáóëåíòíîìó òå÷å-
íèþ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûì ïðîöåññîì, è òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè
äîëæíà áàçèðîâàòüñÿ íà àíàëèçå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè.
Îòìåòèì, ÷òî â îáëàñòè ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ ëèíèè òîêà ïðàêòè÷åñ-
êè ïàðàëëåëüíû. Ïîëå ñêîðîñòåé ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì (ïî àíàëîãèè ñ
îäíîðîäíûì ïîëåì ñèëû òÿæåñòè). Îïèñàíèå òå÷åíèÿ ìîæåò áûòü çíà÷èòåëü-
íî ïðîùå, åñëè èñïîëüçîâàòü ïîòåíöèàë ñêîðîñòåé
rrvr
r
r
d)()(
0
∫
=Φ
. (4.23)
 ðÿäå çàäà÷ ïðîùå ðàññ÷èòàòü ñíà÷àëà ïîòåíöèàë ñêîðîñòåé, à çàòåì è ñêîðîñòü:
Φ−= gradv
.
 îáëàñòè òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ
íåâîçìîæíî îäíîçíà÷íî ââåñòè ïîòåíöè-
àë ñêîðîñòåé. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v â êàæ-
äîé òî÷êå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé
âðåìåíè, è íåîáõîäèìî ðàçâèâàòü ñòàòè-
ñòè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ òóðáóëåí-
òíîãî òå÷åíèÿ.
Î÷åíü ïëîäîòâîðíûì ÿâëÿåòñÿ ïî-
íÿòèå âèõðÿ. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðå-
íèÿ âèõðåâîé õàðàêòåð òå÷åíèÿ èìååò ìå-
ñòî òîãäà, êîãäà îòëè÷íà îò íóëÿ «ðàáîòà»
âåêòîðà ñêîðîñòè v ïî çàìêíóòîìó êîíòó-
ðó, ïîëó÷èâøàÿ íàçâàíèå öèðêóëÿöèè:
G= ¹
ò
v dl 0
l
. (4.24)
Íà ðèñ. 4.14 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû ëèíèè òîêà â ôèêñèðîâàííûé
ìîìåíò âðåìåíè ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè è ïîêàçàí êîíòóð
l
, ïî êîòîðî-
ìó âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàë (4.24). Ñèìâîë
∫
îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ïðî-
èçâîäèòñÿ ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó. Åñëè ðàçìåðû êîíòóðà ñòÿãèâàòü â òî÷êó, òî
â ýòîé òî÷êå èíòåíñèâíîñòü âèõðåîáðàçíîãî òå÷åíèÿ áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ
ðîòîðîì âåêòîðà ñêîðîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì
()
rot
S
n
S
v
=
→
lim
∆
Γ
∆
0
. (4.25)
Çäåñü S∆  ïëîùàäü ìàëåíüêîãî êîíòóðà, n  íîðìàëü ê ýòîé ïëîùàäêå,
íàïðàâëåííàÿ òóäà æå, êóäà è îñòðèå áóðàâ÷èêà, ðóêîÿòêà êîòîðîãî âðàùà-
åòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îáõîäà êîíòóðà. Ôîðìóëà (4.25) äàåò
ëèøü çíà÷åíèå ïðîåêöèè âåêòîðà rot v íà íàïðàâëåíèå íîðìàëè, ïîñêîëüêó
êîíòóð îðèåíòèðîâàí ïðîèçâîëüíî. ×òîáû ðàññ÷èòàòü êîìïîíåíòû âåêòîðà
rot v, íàäî âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèè ïî êîíòóðàì, íîðìàëè ê êîòîðûì ñîâïà-
äàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè îñÿìè êîîðäèíàò.
 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ê ñêàçàííîìó ïîäñ÷èòàåì ðîòîð âèõðåâîãî
òå÷åíèÿ âîäû âáëèçè âûïóñêíîãî îòâåðñòèÿ âàííû. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ÷àñòè-
Ðèñ. 4.14
v
dl
∆
S
l
72                                                      Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ÿñíîãî ïîíèìàíèÿ âñåõ ñòàäèé ðàçâèòèÿ òóðáóëåíòíîñòè. Êëàññè÷åñêàÿ ëè-
íåéíàÿ òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äàåò êà÷åñòâåííî âåðíîå îïèñàíèå íà÷àëüíîé
ñòàäèè ðàçðóøåíèÿ ëàìèíàðíîñòè. ßñíî, ÷òî ïåðåõîä ê òóðáóëåíòíîìó òå÷å-
íèþ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûì ïðîöåññîì, è òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè
äîëæíà áàçèðîâàòüñÿ íà àíàëèçå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè.
       Îòìåòèì, ÷òî â îáëàñòè ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ ëèíèè òîêà ïðàêòè÷åñ-
êè ïàðàëëåëüíû. Ïîëå ñêîðîñòåé ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì (ïî àíàëîãèè ñ
îäíîðîäíûì ïîëåì ñèëû òÿæåñòè). Îïèñàíèå òå÷åíèÿ ìîæåò áûòü çíà÷èòåëü-
íî ïðîùå, åñëè èñïîëüçîâàòü ïîòåíöèàë ñêîðîñòåé
                                                  r
                                    Φ( r) =       ∫ v(r)dr .                      (4.23)
                                                  r0

 ðÿäå çàäà÷ ïðîùå ðàññ÷èòàòü ñíà÷àëà ïîòåíöèàë ñêîðîñòåé, à çàòåì è ñêîðîñòü:
                                                   v = − grad Φ .
                                             îáëàñòè òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ
                                    íåâîçìîæíî îäíîçíà÷íî ââåñòè ïîòåíöè-
                                    àë ñêîðîñòåé. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v â êàæ-
                  dl                äîé òî÷êå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé
                            v       âðåìåíè, è íåîáõîäèìî ðàçâèâàòü ñòàòè-
                                    ñòè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ òóðáóëåí-
                 ∆S                 òíîãî òå÷åíèÿ.
               l                            Î÷åíü ïëîäîòâîðíûì ÿâëÿåòñÿ ïî-
                                    íÿòèå âèõðÿ. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðå-
                                    íèÿ âèõðåâîé õàðàêòåð òå÷åíèÿ èìååò ìå-
                                    ñòî òîãäà, êîãäà îòëè÷íà îò íóëÿ «ðàáîòà»
                                    âåêòîðà ñêîðîñòè v ïî çàìêíóòîìó êîíòó-
                                    ðó, ïîëó÷èâøàÿ íàçâàíèå öèðêóëÿöèè:
                                                           G = ò v dl ¹ 0 .       (4.24)
             Ðèñ. 4.14                                            l
      Íà ðèñ. 4.14 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû ëèíèè òîêà â ôèêñèðîâàííûé
ìîìåíò âðåìåíè ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè è ïîêàçàí êîíòóð l , ïî êîòîðî-
ìó âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàë (4.24). Ñèìâîë        ∫        îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ïðî-
èçâîäèòñÿ ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó. Åñëè ðàçìåðû êîíòóðà ñòÿãèâàòü â òî÷êó, òî
â ýòîé òî÷êå èíòåíñèâíîñòü âèõðåîáðàçíîãî òå÷åíèÿ áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ
ðîòîðîì âåêòîðà ñêîðîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì
                                                           Γ
                                ( rot v ) n   = lim
                                                  ∆S → 0   ∆S
                                                              .                   (4.25)

Çäåñü ∆S — ïëîùàäü ìàëåíüêîãî êîíòóðà, n – íîðìàëü ê ýòîé ïëîùàäêå,
íàïðàâëåííàÿ òóäà æå, êóäà è îñòðèå áóðàâ÷èêà, ðóêîÿòêà êîòîðîãî âðàùà-
åòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îáõîäà êîíòóðà. Ôîðìóëà (4.25) äàåò
ëèøü çíà÷åíèå ïðîåêöèè âåêòîðà rot v íà íàïðàâëåíèå íîðìàëè, ïîñêîëüêó
êîíòóð îðèåíòèðîâàí ïðîèçâîëüíî. ×òîáû ðàññ÷èòàòü êîìïîíåíòû âåêòîðà
rot v, íàäî âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèè ïî êîíòóðàì, íîðìàëè ê êîòîðûì ñîâïà-
äàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè îñÿìè êîîðäèíàò.
         êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ê ñêàçàííîìó ïîäñ÷èòàåì ðîòîð âèõðåâîãî
òå÷åíèÿ âîäû âáëèçè âûïóñêíîãî îòâåðñòèÿ âàííû. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ÷àñòè-

Страницы