Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

74 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî
dv
d
v
ll
~
; S ~
2
l
 ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè íåîäíîðîäíîñòè, ê
êîòîðîé ïðèëîæåíà ñèëà âÿçêîñòè. Îòíîøåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ê êî-
ëè÷åñòâó òåïëîòû ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî ÷èñëó Ðåéíîëüäñà:
Re
v
Q
E
k
=
µ
ρ
≅
l
. (4.31)
Åñëè E
k
>Q (Re>1), òî ñèëû
èíåðöèè ïðåâîñõîäÿò ñèëû âÿç-
êîñòè. Â òàêîì èíòåðâàëå ñêîðî-
ñòåé, íàçûâàåìûì èíåðöèîí-
íûì èíòåðâàëîì, âèõðè ðàñïà-
äàþòñÿ íà áîëåå ìåëêèå, ó êî-
òîðûõ ÷èñëî Ðåéíîëüäñà Re ~ 1.
Ïðè ìèíèìàëüíûõ ñêîðîñòÿõ òå-
÷åíèÿ v ~ 1 ñì/ñ òàêîìó ÷èñëó
Ðåéíîëüäñà ñîîòâåòñòâóåò
l
~ 1
ìì, ÷òî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû
ñîâïàäàåò ñ âíóòðåííèì ìàñø-
òàáîì òóðáóëåíòíîñòè.
À.Í. Êîëìîãîðîâ ðàññìîòðåë èçìåíåíèå âî âðåìåíè ðàçíîñòè ñêîðîñ-
òåé â òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, ðàçíåñåííûõ íà ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 4.15). Îí óñòà-
íîâèë, ÷òî ñðåäíèé êâàäðàò ðàçíîñòè ñêîðîñòåé
()
[]
vr vr
+−
l ()
2
ìîæíî
îïèñàòü óíèâåðñàëüíîé çàâèñèìîñòüþ â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå
l
00
<<l
L
.
Äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ñêîðîñòè, íàïðàâëåííûõ âäîëü l,
[]
DC
v
ll l l
l
=+− =
vr vr()()
/
l
2
223
. (4.32)
Ôóíêöèÿ
ll
D
íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèåé ïóëüñàöèé ñêîðîñòè
è îïèñûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé çàâèñèìîñòüþ
l
23/
. Îíà íå çàâèñèò îò r âñëåä-
ñòâèå ñòàòèñòè÷åñêîé îäíîðîäíîñòè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, è íå çàâèñèò òàêæå
îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà l , à òîëüêî îò åãî âåëè÷èíû
l
. Ïîñëåäíåå ÿâëÿåòñÿ
ñëåäñòâèåì ñòàòèñòè÷åñêîé èçîòðîïíîñòè òóðáóëåíòíîñòè. Ñòðóêòóðíàÿ ôóí-
êöèÿ äëÿ ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíò v
t
[]
D
tt t t
=+−
vr vr()()l
2
ñ ó÷åòîì íåñæè-
ìàåìîñòè àòìîñôåðû (div v = 0) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
ll
D ñëåäóþùèì îáðàçîì:
()
ll
l
ll
D
d
d
2
1
D
2
tt
=
. (4.33)
2
v
C
íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè è ñâÿçàíà ñ ýíåðãèåé òóð-
áóëåíòíîãî äâèæåíèÿ.
Ââåäåííàÿ âûøå ôóíêöèÿ ñêîðîñòåé
ll
D ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ñòðóê-
òóðíóþ ôóíêöèþ ôëóêòóàöèé òåìïåðàòóðû, òàêæå ïîä÷èíÿþùóþñÿ çàêîíó
«2/3»:
Ðèñ. 4.15
z
v
r
v
l
v
vr
()
vr(+)l
r+l
v
t
l
l
t
x
y
74                                                       Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä

                 dv  v
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî   ~ ; S ~ l 2 — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè íåîäíîðîäíîñòè, ê
                 dl   l
êîòîðîé ïðèëîæåíà ñèëà âÿçêîñòè. Îòíîøåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ê êî-
ëè÷åñòâó òåïëîòû ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî ÷èñëó Ðåéíîëüäñà:
                                           Ek   ρvl
                                              ≅     = Re .                                   (4.31)
                                           Q     µ
                                                          Åñëè E >Q (Re>1), òî ñèëû
         v(r)                     vt       v(r+l ) èíåðöèèk ïðåâîñõîäÿò ñèëû âÿç-
 vt                                         êîñòè. Â òàêîì èíòåðâàëå ñêîðî-
         vl                   l             ñòåé, íàçûâàåìûì èíåðöèîí-
   r                               vl       íûì èíòåðâàëîì, âèõðè ðàñïà-
        z                                   äàþòñÿ íà áîëåå ìåëêèå, ó êî-
                                            òîðûõ ÷èñëî Ðåéíîëüäñà Re ~ 1.
                   r+l                      Ïðè ìèíèìàëüíûõ ñêîðîñòÿõ òå-
                                            ÷åíèÿ v ~ 1 ñì/ñ òàêîìó ÷èñëó
                       y                    Ðåéíîëüäñà ñîîòâåòñòâóåò l ~ 1
  x
                                            ìì, ÷òî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû
                   Ðèñ. 4.15                ñîâïàäàåò ñ âíóòðåííèì ìàñø-
                                            òàáîì òóðáóëåíòíîñòè.
        À.Í. Êîëìîãîðîâ ðàññìîòðåë èçìåíåíèå âî âðåìåíè ðàçíîñòè ñêîðîñ-
òåé â òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, ðàçíåñåííûõ íà ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 4.15). Îí óñòà-

                                                                       [v(r + l ) − v(r )]
                                                                                         2
íîâèë, ÷òî ñðåäíèé êâàäðàò ðàçíîñòè ñêîðîñòåé                                                ìîæíî

îïèñàòü óíèâåðñàëüíîé çàâèñèìîñòüþ â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå l 0 < l < L 0 .
Äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ñêîðîñòè, íàïðàâëåííûõ âäîëü l,

                      Dll =       [v l (r + l ) − v l (r )]2   = C 2v l2 / 3 .               (4.32)

       Ôóíêöèÿ D ll íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèåé ïóëüñàöèé ñêîðîñòè

è îïèñûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé çàâèñèìîñòüþ l 2 / 3 . Îíà íå çàâèñèò îò r âñëåä-
ñòâèå ñòàòèñòè÷åñêîé îäíîðîäíîñòè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, è íå çàâèñèò òàêæå
îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà l , à òîëüêî îò åãî âåëè÷èíû l . Ïîñëåäíåå ÿâëÿåòñÿ
ñëåäñòâèåì ñòàòèñòè÷åñêîé èçîòðîïíîñòè òóðáóëåíòíîñòè. Ñòðóêòóðíàÿ ôóí-

êöèÿ äëÿ ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíò vt D tt =              [v t (r + l ) − v t (r )]2   ñ ó÷åòîì íåñæè-

ìàåìîñòè àòìîñôåðû (div v = 0) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç D ll ñëåäóþùèì îáðàçîì:

                                       D tt =
                                                 1 d 2
                                                 2l d l
                                                         (
                                                        l D ll .   )                         (4.33)

C 2v íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè è ñâÿçàíà ñ ýíåðãèåé òóð-
áóëåíòíîãî äâèæåíèÿ.
       Ââåäåííàÿ âûøå ôóíêöèÿ ñêîðîñòåé D ll ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ñòðóê-
òóðíóþ ôóíêöèþ ôëóêòóàöèé òåìïåðàòóðû, òàêæå ïîä÷èíÿþùóþñÿ çàêîíó
«2/3»:

Страницы