Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

77
Ëåêöèÿ 4
Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå
íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå. Ïóñòü â äâè-
æóùåìñÿ ñî ñêîðîñòüþ v
0
ïîòîêå ïî-
ìåùåíû äèñê è øàð îäèíàêîâîãî ðà-
äèóñà r (ðèñ. 4.19). Â öåíòðå äèñêà â
òî÷êå K, íàçûâàåìîé êðèòè÷åñêîé,
ïîòîê îñòàíàâëèâàåòñÿ (v = 0), è äàâ-
ëåíèå, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Áåðíóë-
ëè, ðàâíî
2
v
pp
2
0
0k
ρ
+=
. (4.37)
Ýòî äàâëåíèå áîëüøå ñòàòè÷åñêîãî
äàâëåíèÿ p
0
íà âåëè÷èíó
2
v
2
0
ρ
, ïî-
ëó÷èâøóþ ðàíåå íàçâàíèå ãèäðîäè-
íàìè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, èëè äèíàìè-
÷åñêîãî íàïîðà. Èç-çà ïîâîðîòà òðó-
áîê òîêà íà 90
0
äàâëåíèå â äðóãèõ òî÷-
êàõ íà ïîâåðõíîñòè äèñêà áóäåò òà-
êèì æå, êàê è â òî÷êå Ê. Ïîýòîìó,
åñëè ïîçàäè äèñêà äàâëåíèå ðàâíî p
0
,
òî ïîòîê äåéñòâóåò íà äèñê ñ ñèëîé
()
Fppr vS
k
=− =
0
2
0
2
1
2
πρ
. (4.38)
Ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà F , êîòî-
ðàÿ ìîæåò òðàêòîâàòüñÿ êàê ñèëà ëî-
áîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè äâèæåíèè
äèñêà ñî ñêîðîñòüþ v
0
â ïîòîêå, âäâîå
ìåíüøå ñèëû, âû÷èñëÿåìîé íà îñ-
íîâå óäàðíîé òåîðèè (ñì. (4.36) ïðè
1sin =α ). Åñëè òåïåðü â ïîòîê ïîìå-
ñòèòü øàð, òî ïî óäàðíîé òåîðèè íà
íåãî áóäåò äåéñòâîâàòü òà æå ñèëà,
÷òî è íà äèñê. Ïðè ãèäðîäèíàìè÷åñ-
êîì ïîäõîäå ýòà ñèëà áóäåò îòñóòñòâî-
âàòü âîâñå. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ñèì-
ìåòðè÷íîì ïîòîêå îòíîñèòåëüíî ñå-
÷åíèÿ Î
1
Î
2
äàâëåíèÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ì è ñèììåòðè÷íîé òî÷êå M
′
áóäóò îäèíàêîâû, ïîñêîëüêó îäèíàêîâû ñêîðîñòè ïîòîêà â ýòèõ òî÷êàõ. Ðà-
âåíñòâî íóëþ ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû ïðè ïëàâíîì (áåçîòðûâíîì) îáòåêàíèè
èäåàëüíîé æèäêîñòüþ øàðà, öèëèíäðà è äð. íàçûâàåòñÿ ïàðàäîêñîì Äàëàìáå-
ðà. Äàâëåíèå â ëþáîé òî÷êå ïîòîêà âáëèçè ïîâåðõíîñòè øàðà ìîæíî ðàññ÷è-
òàòü, ïîëüçóÿñü óðàâíåíèåì Áåðíóëëè:
2
v
2
v
pp
2
2
0
0
ρ
−
ρ
+=
. (4.39)
Ðèñ. 4.19
v
v
p
p
O
O
p
0
0
1
2
0
0
0
r
K
K
MM´
K
r
à
á
A
A´
K
K´
Ðèñ. 4.20
Ëåêöèÿ 4                                                                                          77
        Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå
íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå. Ïóñòü â äâè-
æóùåìñÿ ñî ñêîðîñòüþ v0 ïîòîêå ïî-               v0                                         r
ìåùåíû äèñê è øàð îäèíàêîâîãî ðà-
äèóñà r (ðèñ. 4.19). Â öåíòðå äèñêà â            p0
                                                                                        K
òî÷êå K, íàçûâàåìîé êðèòè÷åñêîé,
ïîòîê îñòàíàâëèâàåòñÿ (v = 0), è äàâ-                                                             p0
ëåíèå, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Áåðíóë-
ëè, ðàâíî                                                à
                        ρv 20                                             O1
           p k = p0 +.     (4.37)
                   2
Ýòî äàâëåíèå áîëüøå ñòàòè÷åñêîãî                                          r
                                                 v0                  M        M´
                                  ρv 02
äàâëåíèÿ p0 íà âåëè÷èíó          , ïî-
                              2                  p0              K               K
ëó÷èâøóþ ðàíåå íàçâàíèå ãèäðîäè-
íàìè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, èëè äèíàìè-
÷åñêîãî íàïîðà. Èç-çà ïîâîðîòà òðó-
áîê òîêà íà 900 äàâëåíèå â äðóãèõ òî÷-
êàõ íà ïîâåðõíîñòè äèñêà áóäåò òà-                       á                O2
êèì æå, êàê è â òî÷êå Ê. Ïîýòîìó,
                                                                 Ðèñ. 4.19
åñëè ïîçàäè äèñêà äàâëåíèå ðàâíî p0,
òî ïîòîê äåéñòâóåò íà äèñê ñ ñèëîé
                             1 2
  F   = (p k − p 0 )πr 2 =     ρv 0 S . (4.38)
                             2
Ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà F , êîòî-                             A                       A´
ðàÿ ìîæåò òðàêòîâàòüñÿ êàê ñèëà ëî-
áîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè äâèæåíèè
                                                             K                     K´
äèñêà ñî ñêîðîñòüþ v0 â ïîòîêå, âäâîå
ìåíüøå ñèëû, âû÷èñëÿåìîé íà îñ-
íîâå óäàðíîé òåîðèè (ñì. (4.36) ïðè
sin α = 1 ). Åñëè òåïåðü â ïîòîê ïîìå-
ñòèòü øàð, òî ïî óäàðíîé òåîðèè íà
íåãî áóäåò äåéñòâîâàòü òà æå ñèëà,
÷òî è íà äèñê. Ïðè ãèäðîäèíàìè÷åñ-
êîì ïîäõîäå ýòà ñèëà áóäåò îòñóòñòâî-
âàòü âîâñå. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ñèì-                                  Ðèñ. 4.20
ìåòðè÷íîì ïîòîêå îòíîñèòåëüíî ñå-
÷åíèÿ Î1Î2 äàâëåíèÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ì è ñèììåòðè÷íîé òî÷êå M ′
áóäóò îäèíàêîâû, ïîñêîëüêó îäèíàêîâû ñêîðîñòè ïîòîêà â ýòèõ òî÷êàõ. Ðà-
âåíñòâî íóëþ ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû ïðè ïëàâíîì (áåçîòðûâíîì) îáòåêàíèè
èäåàëüíîé æèäêîñòüþ øàðà, öèëèíäðà è äð. íàçûâàåòñÿ ïàðàäîêñîì Äàëàìáå-
ðà. Äàâëåíèå â ëþáîé òî÷êå ïîòîêà âáëèçè ïîâåðõíîñòè øàðà ìîæíî ðàññ÷è-
òàòü, ïîëüçóÿñü óðàâíåíèåì Áåðíóëëè:
                                                      ρv 02 ρv 2
                                          p = p0 +         −     .                              (4.39)
                                                       2     2

Страницы