Механика твердого тела - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

7
Ëåêöèÿ 1
òî åñòü ñèñòåìà x
0
y
0
z
0
äâèæåòñÿ âìåñòå ñ òî÷êîé Î òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî
ñèñòåìû XYZ ïîñòóïàòåëüíî.
3. Ñèñòåìà xyz, íà÷àëî êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òîé æå òî÷êå Î, ÷òî è
íà÷àëî ñèñòåìû x
0
y
0
z
0
, à îñè æåñòêî ñâÿçàíû ñ òâåðäûì òåëîì.
Òîãäà øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òåëà áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü, âî-ïåð-
âûõ, òðè êîîðäèíàòû òî÷êè Î (â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ), à âî-âòîðûõ, 
òðè óãëà ϕ, ψ, θ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ñèñòåìû xyz îòíîñè-
òåëüíî x
0
y
0
z
0
. Ýòè óãëû íà-
çûâàþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà.
Èõ ñìûñë ÿñåí èç ðèñ. 1.3,
ãäå ÎÀ  ëèíèÿ ïåðåñå-
÷åíèÿ ïëîñêîñòåé Ox
0
y
0
è
Oxy, ïðè ýòîì íèæíåå îñ-
íîâàíèå òâåðäîãî òåëà
(ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà) ëåæèò â ïëîñ-
êîñòè Oxy. Îáû÷íî èõ íà-
çûâàþò òàê: ϕ  óãîë ñîá-
ñòâåííîãî âðàùåíèÿ (ñ
èçìåíåíèåì ýòîãî óãëà
ñâÿçàí ïîâîðîò òâåðäîãî
òåëà âîêðóã îñè z), ψ
óãîë ïðåöåññèè (ïîâîðîò
âîêðóã z
0
ñ ñîõðàíåíèåì
óãëà θ ìåæäó îñÿìè z
0
è z),
θ  óãîë íóòàöèè (îòêëî-
íåíèå òåëà îò îñè z
0
).
Ïðèìåðû ñ äèñêîì íà îñè è êîðîáêîé (ðèñ. 1.1, 1.2) ïîêàçûâàþò, ÷òî
ñëîæíîå äâèæåíèå òîãî èëè èíîãî òåëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåð-
ïîçèöèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ è
ïîâîðîòà (âðàùåíèÿ) âîêðóã îñè. Â äàëüíåéøåì, ñëåäóÿ ïðèíöèïó îò ïðî-
ñòîãî ê ñëîæíîìó, ìû ðàññìîòðèì 5 òèïîâ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, èñ÷åð-
ïûâàþùèõ âñå âñòðå÷àþùèåñÿ íà ïðàêòèêå ñëó÷àè:
 ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå;
 âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè;
 ïëîñêîå, èëè ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå;
 äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé (òàêîå äâè-
æåíèå èíîãäà íàçûâàþò ñôåðè÷åñêèì);
 äâèæåíèå ñâîáîäíîãî, òî åñòü íåçàêðåïëåííîãî òâåðäîãî òåëà.
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå  ýòî òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáîé
âûäåëåííûé â òåëå îòðåçîê îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ñàìîìó ñåáå.
Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì íà ýòó òåìó ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå êàáèíîê êî-
ëåñà îáîçðåíèÿ (ðèñ. 1.4). Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòóïàòåëü-
íîå äâèæåíèå  ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìîëèíåéíîå. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî
ñòåïåíåé ñâîáîäû òåëà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíî òðåì, òàê êàê äîñòàòî÷íî îïèñàòü
äâèæåíèå êàêîé-íèáóäü îäíîé òî÷êè òåëà (íàïðèìåð, òî÷êè À íà ðèñ. 1.5).
Òðàåêòîðèè âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê (íàïðèìåð, òî÷êè  íà ðèñ. 1.5) ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû ïóòåì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà.
x
X
Y
Z
y
j
θ
y
y
0
0
0
x
O
A
z
z
Ðèñ.1.3
Ëåêöèÿ 1                                                                 7
òî åñòü ñèñòåìà x0y0z0 äâèæåòñÿ âìåñòå ñ òî÷êîé Î òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî
ñèñòåìû XYZ ïîñòóïàòåëüíî.
        3. Ñèñòåìà xyz, íà÷àëî êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òîé æå òî÷êå Î, ÷òî è
íà÷àëî ñèñòåìû x0y0z0, à îñè æåñòêî ñâÿçàíû ñ òâåðäûì òåëîì.
        Òîãäà øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òåëà áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü, âî-ïåð-
âûõ, òðè êîîðäèíàòû òî÷êè Î (â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ), à âî-âòîðûõ, –
òðè óãëà ϕ, ψ, θ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ñèñòåìû xyz îòíîñè-
òåëüíî x0y0z0. Ýòè óãëû íà-
çûâàþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà.               z    θ    z0
Èõ ñìûñë ÿñåí èç ðèñ. 1.3,
ãäå ÎÀ – ëèíèÿ ïåðåñå-
÷åíèÿ ïëîñêîñòåé Ox0y0 è
Oxy, ïðè ýòîì íèæíåå îñ-
íîâàíèå òâåðäîãî òåëà
(ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà) ëåæèò â ïëîñ-        Z                            y
êîñòè Oxy. Îáû÷íî èõ íà-
çûâàþò òàê: ϕ – óãîë ñîá-             Y
ñòâåííîãî âðàùåíèÿ (ñ X
èçìåíåíèåì ýòîãî óãëà                                               x
ñâÿçàí ïîâîðîò òâåðäîãî                       O
òåëà âîêðóã îñè z), ψ –                                           y0
                                                 j
óãîë ïðåöåññèè (ïîâîðîò           x 0       y
âîêðóã z0 ñ ñîõðàíåíèåì
óãëà θ ìåæäó îñÿìè z0 è z),
θ – óãîë íóòàöèè (îòêëî-
                                              A
íåíèå òåëà îò îñè z0).                          Ðèñ.1.3
        Ïðèìåðû ñ äèñêîì íà îñè è êîðîáêîé (ðèñ. 1.1, 1.2) ïîêàçûâàþò, ÷òî
ñëîæíîå äâèæåíèå òîãî èëè èíîãî òåëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåð-
ïîçèöèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ è
ïîâîðîòà (âðàùåíèÿ) âîêðóã îñè.  äàëüíåéøåì, ñëåäóÿ ïðèíöèïó “îò ïðî-
ñòîãî ê ñëîæíîìó”, ìû ðàññìîòðèì 5 òèïîâ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, èñ÷åð-
ïûâàþùèõ âñå âñòðå÷àþùèåñÿ íà ïðàêòèêå ñëó÷àè:
        – ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå;
        – âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè;
        – ïëîñêîå, èëè ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå;
        – äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé (òàêîå äâè-
           æåíèå èíîãäà íàçûâàþò ñôåðè÷åñêèì);
        – äâèæåíèå ñâîáîäíîãî, òî åñòü íåçàêðåïëåííîãî òâåðäîãî òåëà.
        Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå – ýòî òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáîé
âûäåëåííûé â òåëå îòðåçîê îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ñàìîìó ñåáå.
        Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì íà ýòó òåìó ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå êàáèíîê êî-
ëåñà îáîçðåíèÿ (ðèñ. 1.4). Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòóïàòåëü-
íîå äâèæåíèå – ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìîëèíåéíîå. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî
ñòåïåíåé ñâîáîäû òåëà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíî òðåì, òàê êàê äîñòàòî÷íî îïèñàòü
äâèæåíèå êàêîé-íèáóäü îäíîé òî÷êè òåëà (íàïðèìåð, òî÷êè À íà ðèñ. 1.5).
Òðàåêòîðèè âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê (íàïðèìåð, òî÷êè  íà ðèñ. 1.5) ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû ïóòåì “ïàðàëëåëüíîãî” ïåðåíîñà.

Страницы