Механика твердого тела - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

8 Ìåõàíèêà
Äîïóñòèì, çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè À çàäàí â âèäå
()
r
AA
=
r
t
. (1.2)
Òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè  áóäåò èìåòü âèä
rrr
BAAB
=+
,
(1.3)
ãäå
r
AB
 âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò òî÷êè À ê òî÷êå Â.
Ñêîðîñòü òî÷êè À
v
r
A
A
=
d
dt
,
(1.4)
ñêîðîñòü òî÷êè Â
v
r
v
B
B
A
==
d
dt
,
(1.5)
òàê êàê
r
AB
 âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå (àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî) è
íàïðàâëåíèþ (ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå).
Óñêîðåíèÿ òî÷åê À è  òàêæå ðàâíû ìåæäó ñîáîé:
a
vv
a
A
AB
B
===
d
dt
d
dt
. (1.6)
Òàêèì îáðàçîì, êèíåìàòèêà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â ïðèí-
öèïå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò êèíåìàòèêè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Åñëè ïðè äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà
êàêèå-ëèáî äâå åãî òî÷êè âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òî ÷åðåç ýòè
òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ÿâëÿþùóþñÿ íåïîäâèæíîé îñüþ âðàùåíèÿ. Ñ
òàêèì äâèæåíèåì ìû ñòàëêèâàåìñÿ åæåäíåâíî, îòêðûâàÿ è çàêðûâàÿ äâåðü â
êîìíàòó. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òåëî îáëàäàåò ëèøü îäíîé ñòåïåíüþ
ñâîáîäû, ñâÿçàííîé ñ óãëîì åãî ïîâîðîòà âîêðóã îñè. Ïðè ýòîì âñå òî÷êè
òåëà äâèæóòñÿ ïî îêðóæíîñòÿì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòÿõ, êîòîðûå ïåðïåíäè-
êóëÿðíû îñè âðàùåíèÿ; öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà ýòîé îñè.
Ñóùåñòâåííî, ÷òî ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàçíîì
ðàññòîÿíèè îò îñè âðàùåíèÿ, ðàçíûå. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, êàñàÿñü ñòàëü-
íîé ïðîâîëîêîé âðàùàþùåãîñÿ äèñêà òî÷èëà (ðèñ. 1.6): ÷åì äàëüøå îò îñè,
òåì äëèííåå ñíîï èñêð  òåì áîëüøå ñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè äèñêà.
Ðèñ. 1.4
X
O
Y
Z
B
B
A
A
B
r
r
A
r
AB
Ðèñ. 1.5
8                                                                     Ìåõàíèêà

                                       Z                              B
                                                        B

                                                            rAB
                                             rB
                                                                            A
                                       O               rA         A

                            X
                                                                          Y
        Ðèñ. 1.4                                       Ðèñ. 1.5


       Äîïóñòèì, çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè À çàäàí â âèäå
                                           rA = rA (t ) .                  (1.2)
Òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè  áóäåò èìåòü âèä
                             rB = rA + rAB ,                               (1.3)
ãäå rAB – âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò òî÷êè À ê òî÷êå Â.
       Ñêîðîñòü òî÷êè À
                                        dr A
                                 vA =        ,                             (1.4)
                                         dt
ñêîðîñòü òî÷êè Â
                                       drB
                                vB =       = vA,                           (1.5)
                                       dt
òàê êàê rAB – âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå (àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî) è
íàïðàâëåíèþ (ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå).
       Óñêîðåíèÿ òî÷åê À è  òàêæå ðàâíû ìåæäó ñîáîé:
                                dv A    dv B
                            aA =     =       = aB .                   (1.6)
                                 dt      dt
Òàêèì îáðàçîì, êèíåìàòèêà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â ïðèí-
öèïå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò êèíåìàòèêè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
       Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Åñëè ïðè äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà
êàêèå-ëèáî äâå åãî òî÷êè âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òî ÷åðåç ýòè
òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ÿâëÿþùóþñÿ íåïîäâèæíîé îñüþ âðàùåíèÿ. Ñ
òàêèì äâèæåíèåì ìû ñòàëêèâàåìñÿ åæåäíåâíî, îòêðûâàÿ è çàêðûâàÿ äâåðü â
êîìíàòó. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òåëî îáëàäàåò ëèøü îäíîé ñòåïåíüþ
ñâîáîäû, ñâÿçàííîé ñ óãëîì åãî ïîâîðîòà âîêðóã îñè. Ïðè ýòîì âñå òî÷êè
òåëà äâèæóòñÿ ïî îêðóæíîñòÿì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòÿõ, êîòîðûå ïåðïåíäè-
êóëÿðíû îñè âðàùåíèÿ; öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà ýòîé îñè.
       Ñóùåñòâåííî, ÷òî ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàçíîì
ðàññòîÿíèè îò îñè âðàùåíèÿ, ðàçíûå. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, êàñàÿñü ñòàëü-
íîé ïðîâîëîêîé âðàùàþùåãîñÿ äèñêà òî÷èëà (ðèñ. 1.6): ÷åì äàëüøå îò îñè,
òåì äëèííåå ñíîï èñêð – òåì áîëüøå ñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè äèñêà.

Страницы