Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46 Ìåõàíèêà
II. Ïëîñêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè âñå òî÷êè òåëà äâèæóòñÿ â ïëîñ-
êîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòè, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî
ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà, íàïðèìåð, òîãî, â êîòîðîì ëå-
æèò öåíòð ìàññ. Ïðè ðàçëîæåíèè ïëîñêîãî äâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðà-
ùàòåëüíîå ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî  îíà
çàâèñèò îò âûáîðà îñè âðàùåíèÿ, îäíàêî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ îêàçûâàåòñÿ îäíîé è òîé æå (ñì. ëåêöèþ ¹1).
Åñëè â êà÷åñòâå îñè âðàùåíèÿ âûáðàòü îñü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð
ìàññ, òî óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà áóäóò:
1. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
m
d
dt
v
F
0
0
=
. (3.19)
2. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð
ìàññ
J
d
dt
0
w
= M
0
. (3.20)
Îñîáåííîñòüþ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îñü âðàùåíèÿ ñî-
õðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå è îñòàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñ-
êîñòè, â êîòîðîé äâèæåòñÿ öåíòð ìàññ. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî óðàâíåíèå
ìîìåíòîâ (3.20) çàïèñàíî îòíîñèòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå, óñêîðåííî äâèæó-
ùåãîñÿ öåíòðà ìàññ, îäíàêî, êàê áûëî îòìå÷åíî â íà÷àëå ëåêöèè, îíî èìååò
òàêîé æå âèä, êàê è óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íà-
êëîííîé ïëîñêîñòè. Ïðèâåäåì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñ èñïîëüçî-
âàíèåì óðàâíåíèé äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.
Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ (ðèñ. 3.11).
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.19 - 3.20) èìååò âèä:
m
d
dt
m
J
d
dt
⋅=++
=
v
gF N
RF
0
òð
òð
;
.
0
w
×
(. )
(. )
321
322
Ê ýòîé ñèñòåìå íåîáõîäèìî äîáàâèòü óðàâíåíèå êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè
d
dt
d
dt
v
R
0
=×
w
.
(3.23)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç
óñëîâèÿ, ÷òî öèëèíäð ñêàòûâàåòñÿ áåç ïðî-
ñêàëüçûâàíèÿ, òî åñòü ñêîðîñòü òî÷êè Ì öè-
ëèíäðà ðàâíà íóëþ.
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
(3.21) çàïèøåì äëÿ ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ è
ñèë íà îñü x âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à
óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.22)  äëÿ ïðîåêöèé
óãëîâîãî óñêîðåíèÿ è ìîìåíòà ñèëû òðåíèÿ
O
N
x
y
M
a
mg
R
F
òð
Ðèñ. 3.11
46                                                                    Ìåõàíèêà
        II. Ïëîñêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà.
        Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè âñå òî÷êè òåëà äâèæóòñÿ â ïëîñ-
êîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòè, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî
ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà, íàïðèìåð, òîãî, â êîòîðîì ëå-
æèò öåíòð ìàññ. Ïðè ðàçëîæåíèè ïëîñêîãî äâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðà-
ùàòåëüíîå ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî – îíà
çàâèñèò îò âûáîðà îñè âðàùåíèÿ, îäíàêî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ îêàçûâàåòñÿ îäíîé è òîé æå (ñì. ëåêöèþ ¹1).
        Åñëè â êà÷åñòâå îñè âðàùåíèÿ âûáðàòü îñü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð
ìàññ, òî óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà áóäóò:
        1. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
                             dv 0
                                  = F0 .
                                  m                             (3.19)
                              dt
       2. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð
ìàññ
                               dw
                                  = M0 .
                                  J0                               (3.20)
                               dt
       Îñîáåííîñòüþ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îñü âðàùåíèÿ ñî-
õðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå è îñòàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñ-
êîñòè, â êîòîðîé äâèæåòñÿ öåíòð ìàññ. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî óðàâíåíèå
ìîìåíòîâ (3.20) çàïèñàíî îòíîñèòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå, óñêîðåííî äâèæó-
ùåãîñÿ öåíòðà ìàññ, îäíàêî, êàê áûëî îòìå÷åíî â íà÷àëå ëåêöèè, îíî èìååò
òàêîé æå âèä, êàê è óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè.
        êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íà-
êëîííîé ïëîñêîñòè. Ïðèâåäåì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñ èñïîëüçî-
âàíèåì óðàâíåíèé äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.
       Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ (ðèñ. 3.11).
       Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.19 - 3.20) èìååò âèä:

                           dv 0
                     m ⋅ dt = mg + Fòð + N;                                (3.21)
                      
                       J dw = R × F .
                       0 dt       òð                                       (3.22)

Ê ýòîé ñèñòåìå íåîáõîäèìî äîáàâèòü óðàâíåíèå êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè
                                                     dv 0      dw
                      N                                   =R×     .         (3.23)
                                                      dt       dt
                                               Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç
                                       óñëîâèÿ, ÷òî öèëèíäð ñêàòûâàåòñÿ áåç ïðî-
                 O    y                ñêàëüçûâàíèÿ, òî åñòü ñêîðîñòü òî÷êè Ì öè-
       Fòð
             R                x        ëèíäðà ðàâíà íóëþ.
                                               Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
             M                         (3.21) çàïèøåì äëÿ ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ è
                                       ñèë íà îñü x âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à
             mg           a            óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.22) – äëÿ ïðîåêöèé
             Ðèñ. 3.11                 óãëîâîãî óñêîðåíèÿ è ìîìåíòà ñèëû òðåíèÿ

Страницы