Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48 Ìåõàíèêà
()
J
d
dt
m
⋅=
w
R
×
g
. (3.33)
Çäåñü
JJ mR=+
0
2
.
(3.34)
 ïðîåêöèè íà îñü âðàùåíèÿ (îñü y)
()
J
d
dt
Rmg Rmg⋅= ⋅ −=
ω
ααsin sin180
0
.
(3.35)
Óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ âûðàæàåò-
ñÿ ÷åðåç óãëîâîå óñêîðåíèå
a
d
dt
R
g
J
mR
==
+
ωαsin
1
0
2
. (3.36)
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
òâåðäîãî òåëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé îòäåëüíûõ
÷àñòèö:
()
T
mv
m
ii
ii
i
== +
∑∑
2
2
2
1
2
vu
0i
, (3.37)
ãäå
v
0
 ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ òåëà,
u
i
 ñêîðîñòü i-é ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî
ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ öåíòðîì ìàññ è ñîâåðøàþùåé ïîñòóïàòåëü-
íîå äâèæåíèå âìåñòå ñ íèì. Âîçâîäÿ ñóììó ñêîðîñòåé â êâàäðàò, ïîëó÷èì:
T
v
mm mu
mv J
i
i
i
i
i
i
i
=+ + =+
∑∑ ∑
0
2
2
0
2
0
2
2
1
222
vu
0i
ω
, (3.38)
òàê êàê
m
i
i
∑
=
u
i
0
(ñóììàðíûé èìïóëüñ ÷àñòèö â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ðà-
âåí íóëþ).
Òàêèì îáðàçîì, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè ðàâíà
ñóììå êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé
(òåîðåìà ʸíèãà). Åñëè ðàññìàòðèâàòü ïëîñêîå äâèæåíèå êàê âðàùåíèå âîê-
ðóã ìãíîâåííîé îñè, òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà åñòü ýíåðãèÿ âðàùàòåëü-
íîãî äâèæåíèÿ.
 ýòîé ñâÿçè çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè
ìîæíî ðåøèòü, èñïîëüçóÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè (íàïîì-
íèì, ÷òî ñèëà òðåíèÿ ïðè êà÷åíèè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ðàáîòó íå ñîâåðøàåò).
Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè öèëèíäðà ðàâíî óáûëè åãî ïî-
òåíöèàëüíîé ýíåðãèè:
J
mgh mgx
ω
α
2
2
==sin
. (3.39)
Çäåñü x  ñìåùåíèå öèëèíäðà âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè,
JJ mR=+
0
2
ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ.
O
N
x
y
M
a
m
g
R
F
òð
Ðèñ. 3.12
48                                                                                                      Ìåõàíèêà
                          N                                                      dw
                                                                            J⋅
                                                                                 dt
                                                                                    = R × mg .( )           (3.33)
                                                        Çäåñü

                   R     O                                           J = J0 + mR 2 .       (3.34)

               y                              x         Â ïðîåêöèè íà îñü âðàùåíèÿ (îñü y)
     Fòð
               M                                           J⋅
                                                             dω
                                                              dt
                                                                                      (
                                                                 = Rmg ⋅ sin 180 0 − α = Rmg sin α .)
               mg                   a                                                        (3.35)
                                                               Óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ âûðàæàåò-
                                                        ñÿ ÷åðåç óãëîâîå óñêîðåíèå
                Ðèñ. 3.12
                                       g sin α     dω
                                         a =          R =
                                            J0 .   dt
                                                                  (3.36)
                                      1+
                                          mR 2
        Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
òâåðäîãî òåëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé îòäåëüíûõ
÷àñòèö:
                                                  m i v 2i          1
                                         ∑                     ∑ 2 m i (v 0 + u i )
                                                                                      2
                                    T=                     =                              ,                 (3.37)
                                          i         2           i

ãäå v 0 – ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ òåëà, u i – ñêîðîñòü i-é ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî
ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ öåíòðîì ìàññ è ñîâåðøàþùåé ïîñòóïàòåëü-
íîå äâèæåíèå âìåñòå ñ íèì. Âîçâîäÿ ñóììó ñêîðîñòåé â êâàäðàò, ïîëó÷èì:

                        v 20                                        1                mv 20  J ω2
                   T=
                        2
                               ∑ m i + v 0 ∑ m i u i + 2 ∑ m i u 2i =                 2
                                                                                           + 0
                                                                                              2 ,           (3.38)
                                i                   i                   i

òàê êàê   ∑ m i ui = 0     (ñóììàðíûé èìïóëüñ ÷àñòèö â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ðà-
           i
âåí íóëþ).
       Òàêèì îáðàçîì, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè ðàâíà
ñóììå êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé
(òåîðåìà ʸíèãà). Åñëè ðàññìàòðèâàòü ïëîñêîå äâèæåíèå êàê âðàùåíèå âîê-
ðóã ìãíîâåííîé îñè, òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà åñòü ýíåðãèÿ âðàùàòåëü-
íîãî äâèæåíèÿ.
       Â ýòîé ñâÿçè çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè
ìîæíî ðåøèòü, èñïîëüçóÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè (íàïîì-
íèì, ÷òî ñèëà òðåíèÿ ïðè êà÷åíèè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ðàáîòó íå ñîâåðøàåò).
       Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè öèëèíäðà ðàâíî óáûëè åãî ïî-
òåíöèàëüíîé ýíåðãèè:
                                        Jω 2
                                             = mgh = mgx sin α .                                            (3.39)
                                         2
Çäåñü x – ñìåùåíèå öèëèíäðà âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, J = J 0 + mR 2 –
ìîìåíò èíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ.

Страницы