Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

49
Ëåêöèÿ 3
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü îñè öèëèíäðà
v
dx
dt
R==ω
, òî
Jv
R
mgx
2
2
2
⋅= sin α
. (3.40)
Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
J
R
v
dv
dt
mg
dx
dt
2
2
2
⋅=⋅⋅sin α
, (3.41)
îòêóäà äëÿ ëèíåéíîãî óñêîðåíèÿ
a
dv
dt
=
îñè öèëèíäðà áóäåì èìåòü òî æå
âûðàæåíèå, ÷òî è ïðè ÷èñòî äèíàìè÷åñêîì ñïîñîáå ðåøåíèÿ (ñì. (3.27, 3.36)).
Çàìå÷àíèå. Åñëè öèëèíäð êàòèòñÿ ñ ïðîñêàëüçûâàíèåì, òî èçìåíåíèå
åãî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ òàêæå è ðàáîòîé ñèë òðåíèÿ.
III. Äâèæåíèå àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íîãî òâåðäîãî òåëà, çàêðåïëåííîãî
â öåíòðå ìàññ.
Òàêîå äâèæåíèå ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî óñò-
ðîéñòâà, íàçûâàåìîãî êàðäàíîâûì ïîäâåñîì (ðèñ. 3.13). Ïîëîæåíèå òåëà â
ïîäâåñå äîëæíî áûòü òàêèì, ÷òîáû îñè
AA
′
,
BB
′
è
CC
′
ïåðåñåêàëèñü â
öåíòðå ìàññ.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ëþáûõ âîçìîæíûõ äâèæåíèÿõ òåëà åãî öåíòð
ìàññ îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì. Ïðè ýòîì îñü
AA
′
(â äàííîì ñëó÷àå  îñü ñèì-
ìåòðèè òåëà) ìîæåò èìåòü ïðîèçâîëüíóþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.
Çàäà÷åé î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà, çàêðåïëåííîãî â òî÷êå, çàíè-
ìàëèñü ìíîãèå ó÷åíûå: Ë.Ýéëåð,
áîëüøàÿ ÷àñòü æèçíè êîòîðîãî
áûëà ñâÿçàíà ñ Ïåòåðáóðãñêîé
Àêàäåìèåé Íàóê, âûäàþùèåñÿ
ðóññêèå ó÷åíûå Í.Å.Æóêîâñêèé,
Ñ.Â.Êîâàëåâñêàÿ, Ñ.À.×àïëû-
ãèí, ôðàíöóçñêèå ó÷åíûå Æ.Ëàã-
ðàíæ, Ñ.Ïóàññîí, Ë.Ïóàíñî. Îêà-
çàëîñü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòà
çàäà÷à àíàëèòè÷åñêè íåðàçðåøè-
ìà. Äàæå â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå äâè-
æåíèÿ òâåðäîãî òåëà òîëüêî ïîä
äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè òî÷íîå
ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ëèøü â îñî-
áûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Îäèí èç ýòèõ
ñëó÷àåâ, êîãäà îäíîðîäíîå òåëî
âðàùåíèÿ çàêðåïëåíî â öåíòðå
ìàññ, ìû ðàññìîòðèì â ýòîé ëåê-
öèè, äðóãîé, èìåþùèé îòíîøåíèå
ê äâèæåíèþ ãèðîñêîïà,  â ëåê-
öèè ¹4.
Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà. Ðàñ-
ñìîòðèì îäíîðîäíîå àêñèàëüíî
ñèììåòðè÷íîå òåëî âðàùåíèÿ,
çàêðåïëåííîå â öåíòðå ìàññ Î
C'
B'
A'
A
B
C
Ðèñ. 3.13
Ëåêöèÿ 3                                                                49

                                                       dx
       Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü îñè öèëèíäðà v =                = ωR , òî
                                                       dt

                         J v2
                           ⋅    = mgx sin α .                         (3.40)
                         2 R2
Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
                              J              dv        dx
                                  2
                                      ⋅ 2v      = mg ⋅    ⋅ sin α ,   (3.41)
                            2R               dt        dt
                                    dv
îòêóäà äëÿ ëèíåéíîãî óñêîðåíèÿ a =      îñè öèëèíäðà áóäåì èìåòü òî æå
                                    dt
âûðàæåíèå, ÷òî è ïðè ÷èñòî äèíàìè÷åñêîì ñïîñîáå ðåøåíèÿ (ñì. (3.27, 3.36)).
       Çàìå÷àíèå. Åñëè öèëèíäð êàòèòñÿ ñ ïðîñêàëüçûâàíèåì, òî èçìåíåíèå
åãî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ òàêæå è ðàáîòîé ñèë òðåíèÿ.
       III. Äâèæåíèå àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íîãî òâåðäîãî òåëà, çàêðåïëåííîãî
â öåíòðå ìàññ.
       Òàêîå äâèæåíèå ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî óñò-
ðîéñòâà, íàçûâàåìîãî êàðäàíîâûì ïîäâåñîì (ðèñ. 3.13). Ïîëîæåíèå òåëà â
ïîäâåñå äîëæíî áûòü òàêèì, ÷òîáû îñè AA ′ , BB′ è CC ′ ïåðåñåêàëèñü â
öåíòðå ìàññ.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ëþáûõ âîçìîæíûõ äâèæåíèÿõ òåëà åãî öåíòð
ìàññ îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì. Ïðè ýòîì îñü AA ′ (â äàííîì ñëó÷àå – îñü ñèì-
ìåòðèè òåëà) ìîæåò èìåòü ïðîèçâîëüíóþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.
       Çàäà÷åé î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà, çàêðåïëåííîãî â òî÷êå, çàíè-
ìàëèñü ìíîãèå ó÷åíûå: Ë.Ýéëåð,
áîëüøàÿ ÷àñòü æèçíè êîòîðîãî                           C'
áûëà ñâÿçàíà ñ Ïåòåðáóðãñêîé
Àêàäåìèåé Íàóê, âûäàþùèåñÿ                                     A'
ðóññêèå ó÷åíûå Í.Å.Æóêîâñêèé,
Ñ.Â.Êîâàëåâñêàÿ, Ñ.À.×àïëû-
ãèí, ôðàíöóçñêèå ó÷åíûå Æ.Ëàã-
                                  B'
ðàíæ, Ñ.Ïóàññîí, Ë.Ïóàíñî. Îêà-
çàëîñü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòà
çàäà÷à àíàëèòè÷åñêè íåðàçðåøè-
ìà. Äàæå â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå äâè-
æåíèÿ òâåðäîãî òåëà òîëüêî ïîä
äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè òî÷íîå
ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ëèøü â îñî-                                        B
áûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Îäèí èç ýòèõ
ñëó÷àåâ, êîãäà îäíîðîäíîå òåëî
âðàùåíèÿ çàêðåïëåíî â öåíòðå
ìàññ, ìû ðàññìîòðèì â ýòîé ëåê-
öèè, äðóãîé, èìåþùèé îòíîøåíèå         A
ê äâèæåíèþ ãèðîñêîïà, – â ëåê-
öèè ¹4.
       Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà. Ðàñ-                           C
ñìîòðèì îäíîðîäíîå àêñèàëüíî
ñèììåòðè÷íîå òåëî âðàùåíèÿ,                      Ðèñ. 3.13
çàêðåïëåííîå â öåíòðå ìàññ Î

Страницы