Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

47
Ëåêöèÿ 3
íà îñü y, ñîâïàäàþùóþ ñ îñüþ öèëèíäðà. Íàïðàâëåíèÿ îñåé x è ó âûáðàíû
ñîãëàñîâàííî, â òîì ñìûñëå, ÷òî ïîëîæèòåëüíîìó ëèíåéíîìó óñêîðåíèþ îñè
öèëèíäðà ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå æå óãëîâîå óñêîðåíèå âðàùåíèÿ âîê-
ðóã ýòîé îñè.  èòîãå ïîëó÷èì:
ma mg F
J
dt
FR
a
d
dt
R
ò
ò
=−
=⋅
=⋅
sin ;
;
.
ð
ð
α
ω
ω
0
d
(. )
(. )
(. )
324
325
326
Îòñþäà
a
g
J
mR
=
+
sin
.
α
1
0
2
(3.27)
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî
F
òð
 ñèëà òðåíèÿ ñöåïëåíèÿ  ìîæåò ïðè-
íèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå â èíòåðâàëå îò Î äî
()
F
ò
ìàêñ
ð
(ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæå-
íèÿ) â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ çàäà÷è. Ðàáîòó ýòà ñèëà íå ñîâåðøàåò, íî
îáåñïå÷èâàåò óñêîðåííîå âðàùåíèå öèëèíäðà ïðè åãî ñêàòûâàíèè ñ íàêëîí-
íîé ïëîñêîñòè.  äàííîì ñëó÷àå
F
J
R
g
J
mR
òð
sin
.=⋅
+
0
2
0
2
1
α
(3.28)
Åñëè öèëèíäð ñïëîøíîé, òî
JmR
0
2
1
2
= ;
ag=
2
3
sin ;α
Fmg
òð
sin .=
1
3
α
(3.29)
Êà÷åíèå áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
FkN
òð
≤
, (3.30)
ãäå k  êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ,
Nmg= cos α
 ñèëà ðåàêöèè îïî-
ðû. Ýòî óñëîâèå ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó:
1
3
mg kmgsin cosαα≤
, (3.31)
èëè
tg kα≤3
. (3.32)
Âòîðîé ñïîñîá. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî íå-
ïîäâèæíîé îñè, ñîâïàäàþùåé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñ ìãíîâåííîé îñüþ
âðàùåíèÿ (ðèñ. 3.12).
Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñîïðèêîñíîâåíèÿ
öèëèíäðà è ïëîñêîñòè (òî÷êó Ì). Ïðè òàêîì ïîäõîäå îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü
â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî ìãíî-
âåííîé îñè èìååò âèä:
Ëåêöèÿ 3                                                                              47
íà îñü y, ñîâïàäàþùóþ ñ îñüþ öèëèíäðà. Íàïðàâëåíèÿ îñåé x è ó âûáðàíû
ñîãëàñîâàííî, â òîì ñìûñëå, ÷òî ïîëîæèòåëüíîìó ëèíåéíîìó óñêîðåíèþ îñè
öèëèíäðà ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå æå óãëîâîå óñêîðåíèå âðàùåíèÿ âîê-
ðóã ýòîé îñè.  èòîãå ïîëó÷èì:

                                                                                   (3.24)
                          ma = mg sin α − F ò ð ;
                          
                           dω
                          J 0    = Fò ð ⋅ R ;                                      (3.25)
                              dt
                               dω
                          a = dt ⋅ R.                                             (3.26)

Îòñþäà
                                           g sin α
                                    a =            .
                                                J0                                 (3.27)
                                          1+
                                              mR 2
       Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî F òð – ñèëà òðåíèÿ ñöåïëåíèÿ – ìîæåò ïðè-

íèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå â èíòåðâàëå îò Î äî F ò ð          ( ) ìàêñ   (ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæå-
íèÿ) â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ çàäà÷è. Ðàáîòó ýòà ñèëà íå ñîâåðøàåò, íî
îáåñïå÷èâàåò óñêîðåííîå âðàùåíèå öèëèíäðà ïðè åãî ñêàòûâàíèè ñ íàêëîí-
íîé ïëîñêîñòè.  äàííîì ñëó÷àå
                                           J0           g sin α
                                  Fòð =            ⋅            .
                                           R   2             J0                    (3.28)
                                                       1+
                                                           mR 2
       Åñëè öèëèíäð ñïëîøíîé, òî
                       1             2               1
                   J0 =  mR 2 ;  a = g sin α;   Fòð = mg sin α.                    (3.29)
                       2             3               3
       Êà÷åíèå áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
                                      Fòð ≤ kN ,                                   (3.30)
ãäå k – êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ, N = mg cos α – ñèëà ðåàêöèè îïî-
ðû. Ýòî óñëîâèå ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó:
                                  1
                                    mg sin α ≤ kmg cos α ,                         (3.31)
                                  3
èëè
                                    tgα ≤ 3k .                     (3.32)
       Âòîðîé ñïîñîá. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî íå-
ïîäâèæíîé îñè, ñîâïàäàþùåé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñ ìãíîâåííîé îñüþ
âðàùåíèÿ (ðèñ. 3.12).
       Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñîïðèêîñíîâåíèÿ
öèëèíäðà è ïëîñêîñòè (òî÷êó Ì). Ïðè òàêîì ïîäõîäå îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü
â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî ìãíî-
âåííîé îñè èìååò âèä:

Страницы