Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

51
Ëåêöèÿ 3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
L
t
L
t
L
t
L
d
dt
L
d
dt
L
d
dt
x
y
z
xyz
ijk
ijk
++ +++ =0
. (3.45)
Çäåñü èñïîëüçîâàí ñèìâîë
∂
∂t
, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ èç-
ìåíåíèÿ âî âðåìåíè ïðîåêöèé L
x
, L
y
è L
z
îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû
xyz  ñèñòåìû, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîâîðà÷èâàåòñÿ âìåñòå ñ òåëîì ñ
ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ
w
.
×òî êàñàåòñÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ i, j, k ,
òî èõ èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè îáóñëîâëåíû òîëüêî âðàùåíèåì ñèñòåìû xyz ñ
óãëîâîé ñêîðîñòüþ
w
, ïîýòîìó
d
dt
i
i= w ×
;
d
dt
j
j= w ×
;
d
dt
k
k= w ×
(3.46)
(ñì. ðèñ. 3.15). Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (3.45), ïîëó÷èì:
∂
∂
L
L
t
+=w×0
. (3.47)
Ïðåîáðàçîâàíèå
d
dt t
LL
L=+
∂
∂
w×
(3.48)
íàõîäèòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñêî-
ðîñòè ïðè ïåðåõîäå îò íåïîäâèæíîé ê âðàùàþùåéñÿ
ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñóùåñòâåííî, ÷òî íàáëþäàòåëü,
íàõîäÿùèéñÿ â ñèñòåìå xyz, ôèêñèðóåò òîëüêî îòíî-
ñèòåëüíîå èçìåíåíèå L (÷ëåí
∂
∂
L
t
). Äëÿ íàáëþäàòåëÿ
â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ê îòíîñèòåëüíîìó èçìåíå-
íèþ L äîáàâëÿåòñÿ åãî ïåðåíîñíîå èçìåíåíèå, ñâÿ-
çàííîå ñ âðàùåíèåì ñèñòåìû xyz ñ ìãíîâåííîé óã-
ëîâîé ñêîðîñòüþ
w
.
Ïðîåöèðóÿ âåêòîðû L è
w
íà îñè ñèñòåìû
xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, ïîëó÷èì:
∂
∂
ωω
L
t
LL
x
yz zy
+−=0
; (3.49)
∂
∂
ωω
L
t
LL
y
zx xz
+−=0
; (3.50)
∂
∂
ωω
L
t
LL
z
xy yx
+−=0
. (3.51)
Ïîñêîëüêó îñè Ox, Oy è Oz  ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ òî÷êè çàêðåïëåíèÿ,
òî
LJ J J
xxx yyy zzz
===ωωω,, L L
, è èç (3.49-3.51) áóäåì èìåòü ñëåäóþ-
ùèå óðàâíåíèÿ:
1
1·sin
α
x
α
d
ϕ
di
dt
dt
dt
|d | = 1·sin · di
α ϕ;
|d |
= 1·sin ·
d
i
α
ϕ
;
d
=
½
i
i
di
i
Ðèñ. 3.15
Ëåêöèÿ 3                                                                                      51

                   ∂L x    ∂L y    ∂L z        di      dj      dk
                        i+      j+      k + Lx    + Ly    + Lz    = 0.                     (3.45)
                    ∂t      ∂t      ∂t         dt      dt      dt

                                     ∂
Çäåñü èñïîëüçîâàí ñèìâîë                , ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ èç-
                                     ∂t
ìåíåíèÿ âî âðåìåíè ïðîåêöèé Lx, Ly è Lz îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû
xyz – ñèñòåìû, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîâîðà÷èâàåòñÿ âìåñòå ñ òåëîì ñ
ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w .
       ×òî êàñàåòñÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ i, j, k ,
òî èõ èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè îáóñëîâëåíû òîëüêî âðàùåíèåì ñèñòåìû xyz ñ
óãëîâîé ñêîðîñòüþ w , ïîýòîìó
                               di                    dj
                                                     dk
                                  = w × i;              = w × j;
                                                        =w×k                               (3.46)
                               dt                    dt
                                                     dt
(ñì. ðèñ. 3.15). Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (3.45), ïîëó÷èì:
                               ∂L                                                             x
                                  + w × L = 0.                 (3.47)
                               ∂t
                                                                                       i      di
         Ïðåîáðàçîâàíèå
                             dL ∂ L                                       α
                                =    +w×L                     (3.48)
                             dt   ∂t                                               1
íàõîäèòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñêî-
ðîñòè ïðè ïåðåõîäå îò íåïîäâèæíîé ê âðàùàþùåéñÿ
ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñóùåñòâåííî, ÷òî íàáëþäàòåëü,                                              di
íàõîäÿùèéñÿ â ñèñòåìå xyz, ôèêñèðóåò òîëüêî îòíî-
                                                                                 dϕ

                                           ∂L                                  1·sinα
ñèòåëüíîå èçìåíåíèå L (÷ëåí                   ). Äëÿ íàáëþäàòåëÿ
                                           ∂t
                                                                        |di| = 1·sinα · dϕ;
â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ê îòíîñèòåëüíîìó èçìåíå-
                                                                        |di|
íèþ L äîáàâëÿåòñÿ åãî “ïåðåíîñíîå” èçìåíåíèå, ñâÿ-                           = 1·sinα · dϕ;
                                                                         dt             dt
çàííîå ñ âðàùåíèåì ñèñòåìû xyz ñ ìãíîâåííîé óã-                         di
ëîâîé ñêîðîñòüþ w .                                                     dt = ½ i
       Ïðîåöèðóÿ âåêòîðû L è w íà îñè ñèñòåìû                                  Ðèñ. 3.15
xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, ïîëó÷èì:
                                     ∂L x
                                          + ω y L z − ω zL y = 0 ;                         (3.49)
                                      ∂t

                                     ∂L y
                                            + ω zL x − ω xL z = 0 ;                        (3.50)
                                      ∂t

                                     ∂L z
                                          + ω xL y − ω y L x = 0 .                         (3.51)
                                      ∂t
Ïîñêîëüêó îñè Ox, Oy è Oz – ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ òî÷êè çàêðåïëåíèÿ,
òî L x = J x ω x , L y = J y ω y ,    L z = Jz ω z , è èç (3.49-3.51) áóäåì èìåòü ñëåäóþ-
ùèå óðàâíåíèÿ:

Страницы