Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 Ìåõàíèêà
()
J
t
JJ
x
x
yz z y
∂ω
∂
ωω+−=
0
; (3.52)
()
J
t
JJ
y
y
zx x z
∂ω
∂
ωω+−=
0
; (3.53)
()
J
t
JJ
z
z
xy y x
∂ω
∂
ωω+−=
0
, (3.54)
ãäå J
x
, J
y
, J
z
 ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà. Îáû÷íî ýòè óðàâíåíèÿ íàçû-
âàþò óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà ïðè îòñóòñòâèè ìîìåíòîâ âíåøíèõ ñèë.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå (ðèñ. 3.14) J
x
= J
y
, è èç (3.52-3.54) ïîëó÷àåì:
∂ω
∂
ωω
x
y
t
+=
0
0
; (3.55)
∂ω
∂
ωω
y
x
t
−=
0
0
; (3.56)
∂ω
∂
z
t
=
0
, (3.57)
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
ωω
0
=⋅
−
z
zy
x
JJ
J
. (3.58)
Èç (3.57) ñëåäóåò, ÷òî ω
z
const
=
, òî åñòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà w íà îñü
ñèììåòðèè òåëà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. ßñíî, ÷òî ω
0
 òàêæå ïîñòîÿííàÿ âå-
ëè÷èíà. Åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, åñëè çàïèñàòü ðåøåíèå
óðàâíåíèé (3.55, 3.56):
() ()
ωω ω ϕωω ω ϕ
xy
tt
=+=+
⊥⊥
cos ; sin ,
00
(3.59)
ãäå ωωω
⊥
=+
xy
22
 ïðîåêöèÿ âåêòîðà w íà ïëîñêîñòü xy.
Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð w ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ ñèììåòðèè òåëà óãîë
θ
ω
ω
=
⊥
arctg
z
è âðàùàåòñÿ âîêðóã ýòîé îñè, êàê ñëåäóåò èç (3.59), ñ ïîñòîÿí-
íîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω
0
. Íà÷àëüíàÿ ôàçà
ϕ
ýòîãî âðàùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
Ïîñìîòðèì, êàê áóäåò âûãëÿäåòü äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â ëàáîðà-
òîðíîé ñèñòåìå x
0
y
0
z
0
. Ïîñêîëüêó íàì èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ω
x
,
ω
y
è ω
z
, òî
çàêîí äâèæåíèÿ òåëà (çàâèñèìîñòü óãëîâ Ýéëåðà îò âðåìåíè) â ïðèíöèïå
ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç êèíåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà (1.30 - 1.32). Îäíà-
êî ýòî ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì â îáùåì ñëó÷àå äîâîëüíî ñëîæíûõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ êà÷åñòâåííûì ðàññìîòðåíèåì
äâèæåíèÿ òåëà. Â ñèëó òîãî, ÷òî
52                                                                              Ìåõàíèêà

                                 ∂ω x
                            Jx
                                  ∂t
                                                    (
                                      + ω yω z Jz − Jy = 0 ;  )                     (3.52)

                                  ∂ω y
                            Jy            + ω z ω x (J x − J z ) = 0 ;              (3.53)
                                   ∂t

                                 ∂ω z
                            Jz
                                  ∂t
                                                   (
                                      + ωxωy Jy − Jx = 0 ,    )                     (3.54)

ãäå Jx, Jy, Jz – ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà. Îáû÷íî ýòè óðàâíåíèÿ íàçû-
âàþò óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà ïðè îòñóòñòâèè ìîìåíòîâ âíåøíèõ ñèë.
          ÷àñòíîì ñëó÷àå (ðèñ. 3.14) Jx = Jy, è èç (3.52-3.54) ïîëó÷àåì:
                                    ∂ω x
                                         + ωyω0 = 0 ;                               (3.55)
                                     ∂t

                                     ∂ω y
                                              − ωxω0 = 0 ;                          (3.56)
                                         ∂t

                                        ∂ω z
                                             = 0,                                   (3.57)
                                         ∂t

ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
                                              Jz − J y
                                 ω 0 = ωz ⋅              .                          (3.58)
                                                 Jx
       Èç (3.57) ñëåäóåò, ÷òî ω z = const , òî åñòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà w íà îñü
ñèììåòðèè òåëà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. ßñíî, ÷òî ω 0 – òàêæå ïîñòîÿííàÿ âå-
ëè÷èíà. Åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, åñëè çàïèñàòü ðåøåíèå
óðàâíåíèé (3.55, 3.56):
                  ω x = ω ⊥ cos(ω 0 t + ϕ);       ω y = ω ⊥ sin (ω 0 t + ϕ ),       (3.59)

ãäå ω ⊥ =    ω 2x + ω 2y – ïðîåêöèÿ âåêòîðà w íà ïëîñêîñòü xy.
       Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð w ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ ñèììåòðèè òåëà óãîë
            ω⊥
θ = arctg
            ω z è âðàùàåòñÿ âîêðóã ýòîé îñè, êàê ñëåäóåò èç (3.59), ñ ïîñòîÿí-
íîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω 0 . Íà÷àëüíàÿ ôàçà ϕ ýòîãî âðàùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
       Ïîñìîòðèì, êàê áóäåò âûãëÿäåòü äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â ëàáîðà-
òîðíîé ñèñòåìå x0y0z0. Ïîñêîëüêó íàì èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ω x , ω y è ω z , òî
çàêîí äâèæåíèÿ òåëà (çàâèñèìîñòü óãëîâ Ýéëåðà îò âðåìåíè) â ïðèíöèïå
ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç êèíåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà (1.30 - 1.32). Îäíà-
êî ýòî ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì â îáùåì ñëó÷àå äîâîëüíî ñëîæíûõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ êà÷åñòâåííûì ðàññìîòðåíèåì
äâèæåíèÿ òåëà. Â ñèëó òîãî, ÷òî

Страницы