Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

53
Ëåêöèÿ 3
Lijk=++JJJ
xx yy zz
ωωω
(3.60)
(i, j, k  îðòû ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà), à J
x
= J
y
, ìîæíî çàïèñàòü
()
Lk ij kk
=+++−
JJ JJ
zz x x y xz xz
ωωωωω
(3.61)
Çäåñü äîáàâëåí è âû÷òåí ÷ëåí
J
xz
ωk, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü (3.61) â
âèäå
()
Lk
=− +
JJ J
zxz x
ω
w
(3.62)
Îòñþäà âèäíî, ÷òî k (îñü ôèãóðû), L è w ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Èç (3.62)
ñëåäóåò, ÷òî
w = Ω − ω
0
k
, (3.63)
ãäå
Ω =
L
J
x
(3.64)
åñòü ñîñòàâëÿþùàÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ïî
íàïðàâëåíèþ L. Ïëîñêîñòü, â êîòîðîé
ëåæàò îñü ôèãóðû, w è L, ïîâîðà÷èâà-
åòñÿ (ïðåöåññèðóåò) âîêðóã íàïðàâëå-
íèÿ L ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
Ω
, íàçû-
âàåìîé ñêîðîñòüþ ïðåöåññèè (ðèñ. 3.16).
Ñàìî äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé
ïðåöåññèåé ñâîáîäíîãî ñèììåòðè÷íî-
ãî âîë÷êà.
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå âåðå-
òåíîîáðàçíîãî òåëà, èçîáðàæåííîãî
íà ðèñ. 3.16, J
z
< J
x
, ïîýòîìó ω
0
0
<
(ñì. (3.58)), è âåêòîð −ω
0
k
íàïðàâëåí
â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è k.
Çàìå÷àíèå 1. Çàêðåïëåíèå àê-
ñèàëüíî ñèììåòðè÷íîãî òâåðäîãî òåëà
â öåíòðå ìàññ ìîæåò áûòü âûïîëíåíî
íå òîëüêî ñ ïîìîùüþ êàðäàíîâà ïîä-
âåñà, íî, íàïðèìåð, òàê, êàê ïîêàçà-
íî íà ðèñ. 3.17. Ìàññèâíîå òåëî, ñå÷å-
íèå êîòîðîãî ïëîñêîñòüþ ðèñóíêà çàø-
òðèõîâàíî, øàðíèðíî çàêðåïëåíî â
òî÷êå Î, ñîâïàäàþùåé ñ öåíòðîì ìàññ
òåëà.
Çàìå÷àíèå 2. Èñïîëüçóÿ ïîñò-
ðîåíèå Ïóàíñî (ñì. ëåêöèþ ¹2), ðå-
ãóëÿðíîé ïðåöåññèè ñâîáîäíîãî ñèì-
ìåòðè÷íîãî âîë÷êà ìîæíî äàòü íàãëÿä-
íóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ
(ðèñ. 3.18).
Ìîìåíò èìïóëüñà L òåëà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî öåíòðà ìàññ Î
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ. Ýëëèï-
− ω
k
O
k
0
L
Ðèñ. 3.16
O
m
g
Ðèñ. 3.17
Ëåêöèÿ 3                                                                               53

                                  L = J x ω x i + J y ω y j + Jz ω z k               (3.60)
(i, j, k – îðòû ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà), à Jx = Jy, ìîæíî çàïèñàòü

                                            (             )
                         L = Jzω z k + J x ω x i + ω y j + J x ω z k − J x ω z k     (3.61)

Çäåñü äîáàâëåí è âû÷òåí ÷ëåí J x ω z k , ÷òî ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü (3.61) â
âèäå
                                 L = (J z − J x )ω z k + J x w                       (3.62)
Îòñþäà âèäíî, ÷òî k (îñü ôèãóðû), L è w ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Èç (3.62)
ñëåäóåò, ÷òî
            w = Ω − ω0k ,             (3.63)                                   L
ãäå
                    L
               Ω=                     (3.64)
                    Jx
åñòü ñîñòàâëÿþùàÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ïî
íàïðàâëåíèþ L. Ïëîñêîñòü, â êîòîðîé
ëåæàò îñü ôèãóðû, w è L, ïîâîðà÷èâà-
åòñÿ (ïðåöåññèðóåò) âîêðóã íàïðàâëå-              k
íèÿ L ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω , íàçû-
âàåìîé ñêîðîñòüþ ïðåöåññèè (ðèñ. 3.16).
                                                      − ω0 k
Ñàìî äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé
ïðåöåññèåé ñâîáîäíîãî ñèììåòðè÷íî-                                         O
ãî âîë÷êà.
        Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå âåðå-
òåíîîáðàçíîãî òåëà, èçîáðàæåííîãî
íà ðèñ. 3.16, Jz < Jx , ïîýòîìó ω 0 < 0                                  Ðèñ. 3.16
(ñì. (3.58)), è âåêòîð −ω 0 k íàïðàâëåí
â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è k.
         Çàìå÷àíèå 1. Çàêðåïëåíèå àê-
ñèàëüíî ñèììåòðè÷íîãî òâåðäîãî òåëà
â öåíòðå ìàññ ìîæåò áûòü âûïîëíåíî
íå òîëüêî ñ ïîìîùüþ êàðäàíîâà ïîä-
âåñà, íî, íàïðèìåð, òàê, êàê ïîêàçà-
íî íà ðèñ. 3.17. Ìàññèâíîå òåëî, ñå÷å-
íèå êîòîðîãî ïëîñêîñòüþ ðèñóíêà çàø-                     O
òðèõîâàíî, øàðíèðíî çàêðåïëåíî â
òî÷êå Î, ñîâïàäàþùåé ñ öåíòðîì ìàññ
òåëà.
         Çàìå÷àíèå 2. Èñïîëüçóÿ ïîñò-                    mg
ðîåíèå Ïóàíñî (ñì. ëåêöèþ ¹2), ðå-
ãóëÿðíîé ïðåöåññèè ñâîáîäíîãî ñèì-
ìåòðè÷íîãî âîë÷êà ìîæíî äàòü íàãëÿä-
íóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ
                                                    Ðèñ. 3.17
(ðèñ. 3.18).
         Ìîìåíò èìïóëüñà L òåëà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî öåíòðà ìàññ Î
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ. Ýëëèï-

Страницы