Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

+
s
(l − m)(l + m)
(2l − 1)(2l + 1)
Y
l−1,m
(θ, ϕ)
hl
0
m
0
|cos θ |lmi =
Z
Y
∗
l
0
m
0
(θ, ϕ) cos θ Y
lm
(θ, ϕ) dΩ =
=
s
(l − m + 1)(l + m + 1)
(2l + 1)(2l + 3)
δ
l
0
,l+1
δ
m
0
m
+
s
(l − m)(l + m)
(2l − 1)(2l + 1)
δ
l
0
,l−1
δ
m
0
m
hl + 1 m|cos θ |l mi =
s
(l − m + 1)(l + m + 1)
(2l + 1)(2l + 3)
;
hl − 1 m|cos θ |l mi =
s
(l − m)(l + m)
(2l − 1)(2l + 1)
;
hl
0
m
0
|cos θ |l mi =0; m 6= m
0
,
cos θ
¤
ˆ
G
G G
0
hG
0
|
ˆ
F |Gi
ˆ
F Ψ Φ =
ˆ
F Ψ G
ˆ
G
{a(G
n
)} {b(G
n
)} Φ Ψ
G
a(G
k
) =
X
n
hG
k
|
ˆ
F |G
n
ib(G
n
),
G
ˆ
G
                                              s
                                                   (l − m)(l + m)
                                         +                          Yl−1,m (θ, ϕ) (2.17)
                                                   (2l − 1)(2l + 1)

Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì (2.17) è óñëîâèÿ íîðìè-
ðîâêè ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé (1.7) äàåò:
                      Z
  hl m | cos θ |lmi = Yl∗0 m0 (θ, ϕ) cos θ Ylm (θ, ϕ) dΩ =
    0    0

      s                                            s
          (l − m + 1)(l + m + 1)                     (l − m)(l + m)
    =                             δl0 ,l+1 δm0 m +                    δl0 ,l−1 δm0 m
              (2l + 1)(2l + 3)                       (2l − 1)(2l + 1)

Äðóãèìè ñëîâàìè,
                                         s
                                             (l − m + 1)(l + m + 1)
                hl + 1 m| cos θ |lmi =                              ;
                                                 (2l + 1)(2l + 3)
                                         s
                                             (l − m)(l + m)
                hl − 1 m| cos θ |lmi =                        ;
                                             (2l − 1)(2l + 1)
                   hl0 m0 | cos θ |lmi =0;        åñëè m 6= m0 ,

ò.å. ìàòðèöà îïåðàòîðà cos θ îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé ïî ìàãíèòíîìó
êâàíòîâîìó ÷èñëó.                                                 ¤
   Îïðåäåëåíèå (2.14) ïðèãîäíî è äëÿ îïåðàòîðà Ĝ ñ íåïðåðûâíûì ñïåê-
òðîì.  ýòîì ñëó÷àå èíäåêñû ñîñòîÿíèÿ G è G0 â ìàòðèöå hG0 | F̂ |Gi áóäóò
ïðîáåãàòü íåïðåðûâíûé ðÿä çíà÷åíèé.
   Äåéñòâèå îïåðàòîðà F̂ íà ôóíêöèþ Ψ (Φ = F̂ Ψ) â G-ïðåäñòàâëåíèè
ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

  à) äëÿ îïåðàòîðà Ĝ ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì:
        ïóñòü {a(Gn )} è {b(Gn )}  ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè Φ è Ψ â äèñ-
        êðåòíîì G-ïðåäñòàâëåíèè, òîãäà
                                   X
                          a(Gk ) =     hGk | F̂ |Gn i b(Gn ),     (2.18)
                                         n

        ò.å. äåéñòâèå îïåðàòîðà íà ôóíêöèþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ïå-
        ðåìíîæåíèÿ ìàòðèöû îïåðàòîðà íà âåêòîð, ñîñòàâëåííûé èç êîýô-
        ôèöèåíòîâ G-ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè.

  á) äëÿ îïåðàòîðà Ĝ ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì:


                                             26

Страницы