Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

r p
r p
ˆ
r r i}∇
p
ˆ
p −i}∇
r
p
ˆ
L −i}[r × ∇
r
] i}[∇
p
× p]
ˆ
T −
}
2
2m
∇
2
r
p
2
2m
ˆ
U U(r) U(i}∇
p
)
a(G) b(G) Φ Ψ
G
a(G
0
) =
Z
hG
0
|
ˆ
F |Gib(G) dG,
hG
0
|
ˆ
F |Gi
hr|
ˆ
r |r
0
i = r δ(r − r
0
)
hr|
ˆ
p |r
0
i = δ(r − r
0
)(−i}∇
r
0
)
d
3
r
0
δ
hp|
ˆ
r |p
0
i = δ(p − p
0
) i}∇
p
0
ˆ
T
a
a
ˆ
T
a
ˆ
T
a
ψ(r) = ψ(r + a).
Ψ
p
(r) =
1
(2π})
3/2
e
ipr/}
         Òàáëèöà 2.1: Íåêîòîðûå îïåðàòîðû â r- è p-ïðåäñòàâëåíèÿõ
 Îïåðàòîð                      r-ïðåäñòàâëåíèå     p-ïðåäñòàâëåíèå
 Êîîðäèíàòà r̂                         r                 i}∇p
 Èìïóëüñ p̂                         −i}∇r                  p
 Ìîìåíò èìïóëüñà L̂               −i}[r × ∇r ]        i}[∇p × p]
                                      }2 2                 p2
 Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T̂           −     ∇
                                     2m r                 2m
 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Û            U (r)             U (i}∇p )


     ïóñòü a(G) è b(G)  ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè Φ è Ψ â íåïðåðûâíîì
     G-ïðåäñòàâëåíèè, òîãäà
                                Z
                        a(G ) = hG0 | F̂ |Gi b(G) dG,
                            0
                                                               (2.19)

     ÷òî îòëè÷àåòñÿ îò (2.18) çàìåíîé ñóììèðîâàíèÿ èíòåãðèðîâàíèåì,
     è äåéñòâèå îïåðàòîðà íà ôóíêöèþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èí-
     òåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ÿäðîì hG0 | F̂ |Gi.

     Èñïîëüçîâàííûå ðàíåå îïåðàòîðû â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè òàê-
æå ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ìàòðè÷íîé ôîðìå: hr| r̂ |r0 i = r δ(r − r0 );
hr| p̂ |r0 i = δ(r − r0 )(−i}∇r0 ) è ò.ä. Ïðè ýòîì èíòåãðèðîâàíèå (2.19) ïî
d3 r0 ñíèìàåòñÿ δ -ôóíêöèåé.
     Ïî ôîðìóëå (2.19) èçâåñòíûå íàì îïåðàòîðû ìîãóò áûòü ïåðåâåäåíû
â èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå. Òàê, äëÿ ìàòðèöû îïåðàòîðà êîîðäèíàòû
â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè èìååì: hp| r̂ |p0 i = δ(p − p0 ) i}∇p0 , ÷òî ïî
ñòðóêòóðå àíàëîãè÷íî îïåðàòîðó èìïóëüñà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëå-
íèè, çà èñêëþ÷åíèåì çíàêà.
     Íèæå ïðèâåäåíà òàáëèöà 2.1 äëÿ íåêîòîðûõ îïåðàòîðîâ â êîîðäèíàò-
íîì è èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèÿõ.
Ïðèìåð 2.6. Çàïèñàòü îïåðàòîð T̂a , îñóùåñòâëÿþùèé ïðîñòðàíñòâåí-
íûé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ êâàíòîâîé ñèñòåìû íà âåêòîð a, â èìïóëüñ-
íîì ïðåäñòàâëåíèè.
Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà T̂a ,

                            T̂a ψ(r) = ψ(r + a).                     (2.20)

Âû÷èñëÿÿ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (2.19) íà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿõ îïåðàòî-
                        1
ðà èìïóëüñà Ψp (r) =          eipr/} ñ ó÷åòîì (2.20), ïîëó÷àåì ìàòðèöó
                     (2π})3/2

                                    27

Страницы