Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x
mn
≡ hm|x |ni =
1
x
0
+∞
Z
−∞
Φ
(osc)∗
m
µ
x
x
0
x Φ
(osc)
n
µ
x
x
0
dx =
= x
0
+∞
Z
−∞
Φ
(osc)∗
m
(ξ) ξ Φ
(osc)
n
(ξ)
| {z }
dξ =
= x
0
r
n
2
+∞
Z
−∞
Φ
(osc)∗
m
(ξ)Φ
(osc)
n−1
(ξ) dξ
| {z }
+
r
n + 1
2
+∞
Z
−∞
Φ
(osc)∗
m
(ξ)Φ
(osc)
n+1
(ξ) dξ
| {z }
=
= x
0
(
r
n
2
δ
m,n−1
+
r
n + 1
2
δ
m,n+1
)
x
mn
hn − 1|x |ni = x
0
r
n
2
hn + 1|x |ni = x
0
r
n + 1
2
x
mn
x
mn
=
x
0
√
2
0
√
1 0 0 . . .
√
1 0
√
3 0 . . .
0
√
3 0
√
5 . . .
0 0
√
5 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
¤
ˆ
F = cos θ
Y
lm
(θ, ϕ) l m
cos θ Y
lm
(θ, ϕ) =
s
(l − m + 1)(l + m + 1)
(2l + 1)(2l + 3)
Y
l+1,m
(θ, ϕ) +
                             Z
                             +∞        µ ¶          µ ¶
                      1                 x            x
  xmn   ≡ hm| x |ni =          Φ(osc)∗
                                m          x Φ(osc)
                                              n         dx =
                      x0                x0           x0
                            −∞
                            Z
                            +∞

                       = x0   Φ(osc)∗
                               m      (ξ) ξ Φ(osc) (ξ) dξ =
                                          | n{z }
                              −∞               (2.16)
                                                                        
     
                                                                        
                                                                         
     
                                                                        
                                                                         
     
     r    Z
           +∞                       r         Z+∞                        
                                                                         
      n                               n + 1                             
              (osc)∗       (osc)                  (osc)∗       (osc)
= x0         Φm (ξ)Φn−1 (ξ) dξ +                 Φm (ξ)Φn+1 (ξ) dξ =
     
       2                                2                               
                                                                         
     
         −∞                                 −∞                          
                                                                         
     
         |           {z         }            |           {z            }
                                                                         
                                                                        
                    (2.15)                              (2.15)
                                       (r               r                 )
                                           n                n+1
                                  = x0        δm,n−1 +             δm,n+1
                                            2                  2

Ìàòðè÷íûå      ýëåìåíòû
                   r       xmn ìîæíî çàïèñàòü r            íåñêîëüêî èíà÷å:
                      n                           n+1
hn − 1| x |ni = x0      ; hn + 1| x |ni = x0             , ïîäðàçóìåâàÿ âñå
                      2                            2
îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíûìè íóëþ. Ïðèâåäåì ÿâíûé âèä ôðàãìåíòà
áåñêîíå÷íîé ìàòðèöû xmn :
                                    √                    
                               √0      1  0
                                          √     0   . . .
                              1 0          3 √0 . . .
                          x0        √                    
                  xmn = √      0      3 √0      5 . . . .
                           2 0      0     5 0 . . .
                               .......................

                                                                         ¤

Ïðèìåð 2.5. Çàïèñàòü îïåðàòîð F̂ = cos θ (ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîð-
äèíàò) â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ïî áàçèñó ïðîñòðàíñòâåííîãî
ðîòàòîðà.
Ðåøåíèå. Áàçèñîì ïðîñòðàíñòâåííîãî ðîòàòîðà ÿâëÿþòñÿ ñôåðè÷åñêèå
ôóíêöèè Ylm (θ, ϕ), õàðàêòåðèçóþùèåñÿ îðáèòàëüíûì l è ìàãíèòíûì m
êâàíòîâûìè ÷èñëàìè (ñì. ïðèìåð 1.2). Äëÿ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé èç-
âåñòíî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå
                       s
                           (l − m + 1)(l + m + 1)
  cos θ Ylm (θ, ϕ) =                              Yl+1,m (θ, ϕ) +
                               (2l + 1)(2l + 3)

                                          25

Страницы