Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
F G
F
kn
F
kn
=
Z
Φ
∗
G
k
(r)
ˆ
F Φ
G
n
(r) d
3
r ≡ hG
k
|
ˆ
F |G
n
i ≡ hk|
ˆ
F |ni,
G
n
Φ
n
(x)
ˆ
G
Φ
G
n
(r)
ω
m
Φ
n
(x) =
1
√
x
0
Φ
(osc)
n
µ
x
x
0
= [x
0
n!2
n
√
π]
−1/2
H
n
(ξ)e
−ξ
2
/2
,
x
0
=
r
}
mω
ξ =
x
x
0
H
n
(ξ) n = 0, 1, . . .
+∞
Z
−∞
Φ
∗
m
(x)Φ
n
(x) dx = δ
mn
.
Φ
(osc)
n
(ξ)
ξΦ
(osc)
n
(ξ) =
r
n
2
Φ
(osc)
n−1
(ξ) +
r
n + 1
2
Φ
(osc)
n+1
(ξ).
x = ξx
0
Ëåæàíäðà).

2.2 Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ îïåðàòîðîâ ôèçè÷å-
    ñêèõ âåëè÷èí
Ïðè ïåðåõîäå îò êîîðäèíàòíîãî ê äðóãîìó ïðåäñòàâëåíèþ äëÿ îïèñàíèÿ
ñèñòåìû ìåíÿåòñÿ âèä íå òîëüêî ó âîëíîâûõ ôóíêöèé, íî è ó îïåðàòî-
ðîâ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Îïåðàòîðó F̂ â G-ïðåäñòàâëåíèè ñîîòâåòñòâóåò
ìàòðèöà Fkn :
              Z
      Fkn = Φ∗Gk (r)F̂ ΦGn (r) d3 r ≡ hGk | F̂ |Gn i ≡ hk| F̂ |ni , (2.14)

ãäå Gn è Φn (x)  ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåí-
íûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ĝ ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì (÷àñòî ñîáñòâåííûå
ôóíêöèè ΦGn (r) íàçûâàþò áàçèñíûìè).
Ïðèìåð 2.4. Íàéòè îïåðàòîð êîîðäèíàòû â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâ-
ëåíèè ïî áàçèñó ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω è
ìàññîé m.
Ðåøåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî ïîä áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè ñèñòåìû ïîíèìàþòñÿ
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè åå ãàìèëüòîíèàíà. Áàçèñíûå ôóíêöèè îñöèëëÿòîðà
èìåþò âèä
                           µ ¶
                  1           x             √                2
       Φn (x) = √ Φ(osc)
                      n           = [x0 n!2n π]−1/2 Hn (ξ)e−ξ /2 ,
                  x0         x0
         r
              }      x
ãäå x0 =        ,ξ =    , Hn (ξ)  ïîëèíîì ×åáûøåâàÝðìèòà; n = 0, 1, . . . .
            mω       x0
Îíè îðòîãîíàëüíû è íîðìèðîâàíû íà 1:
                            Z
                            +∞

                              Φ∗m (x)Φn (x) dx = δmn .                  (2.15)
                        −∞

                    (osc)
   Äëÿ ôóíêöèé Φn           (ξ) èçâåñòíî ñëåäóþùåå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøå-
íèå:
                               r                   r
                                   n (osc)             n + 1 (osc)
               ξΦ(osc)
                 n     (ξ) =        Φ      (ξ) +            Φn+1 (ξ).   (2.16)
                                   2 n−1                 2
Âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà êîîðäèíàòû îñóùåñòâëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå (2.14) ñ ó÷åòîì (2.15), (2.16) è çàìåíû x = ξx0 :


                                         24

Страницы