Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

∞
Z
0
r
2
e
−Zr/a
0
1
r
r
±ipr/}
dr =
∞
Z
0
r exp
½
−
µ
Z
a
0
∓
i
}
p
r
¾
dr =
1
³
Z
a
0
∓
i
}
p
´
2
c
1s
(p) =
2i}
πp
µ
Z
2}a
0
3
/
2
1
h
Z
a
0
+
i
}
p
i
2
−
1
h
Z
a
0
−
i
}
p
i
2
=
= −
4}
πp
µ
Z
2}a
0
3
/
2
Im
1
³
Z
a
0
+
i
}
p
´
2
=
8
π
³
a
0
2}Z
´
3
/
2
1
h
1 +
¡
a
0
p
}Z
¢
2
i
2
.
w
1s
(p) = |c
1s
(p)|
2
=
8
π
2
³
a
0
}Z
´
3
1
h
1 +
¡
a
0
p
}Z
¢
2
i
4
.
R
w
1s
(p)d
3
p = 1 ¤
Φ(ϕ) =
1
√
19π
(3+cos ϕ)
I |c(E
m
)|
2
Φ(ϕ)
Ψ
m
(ϕ) =
e
imϕ
√
2π
m = 0, ±1, . . . E
m
=
}
2
m
2
2I
Φ(ϕ) = 3
r
2
19
Ψ
0
(ϕ) +
1
2
r
2
19
{Ψ
1
(ϕ) + Ψ
−1
(ϕ)},
c(E
0
) = 3
r
2
19
c(E
±1
) =
1
2
r
2
19
|m| > 1
c(E
m
) = 0 E
|c(E
m
)|
2
w
m
Ψ
m
(ϕ) Ψ(ϕ)
Z∞                                     Z∞         ½ µ       ¶ ¾
               1                                      Z   i               1
     r2 e−Zr/a0 r±ipr/} dr =                 r exp −     ∓ p r dr = ³         ´2 .
               r                                      a0  }           Z     i
0                                      0                              a0 ∓ } p

     Ïîñëå àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé èç âûðàæåíèÿ (2.13) ïîëó÷àåì:
                                                                             
                      µ          ¶ 3/2 
                                                                             
                                                                              
                2i}        Z                          1              1
    c1s (p) =                                h            i2 − h         i2 =
                πp        2}a0          
                                                Z      i        Z     i   
                                                                           
                                                 a0   + }p       a0 − } p
                          µ          ¶ 3/2
               4}              Z                            1       8 ³ a0 ´ 3/2       1
            =−                               Im ³              ´2 =              h   ¡ a0 p ¢2 i2 .
               πp             2}a0                    Z      i      π 2}Z
                                                      a0   + }p                   1 + }Z

Ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì (ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè) äàåòñÿ âûðàæåíè-
åì
                               2  8 ³ a0 ´3        1
            w1s (p) = |c1s (p)| = 2         h    ¡ a0 p ¢2 i4 .
                                 π }Z
                                              1 + }Z

Ïðåäëàãàåì
R            ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè óñëîâèÿ íîðìèðîâêè
          3
  w1s (p)d p = 1 è íàéòè íàèâåðîÿòíåéøåå çíà÷åíèå èìïóëüñà.         ¤

Ïðèìåð 2.3. Êâàíòîâàÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè, îïèñûâàåìîì
                                                    1
â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ âîëíîâîé ôóíêöèåé Φ(ϕ) = √       (3 + cos ϕ). Çà-
                                                    19π
ïèñàòü åå â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ïî áàçèñó ïëîñêîãî ðîòàòîðà
ñ ìîìåíòîì èíåðöèè I è ïîÿñíèòü ñìûñë âåëè÷èí |c(Em )|2 .
Ðåøåíèå. Ðàçëîæèì ôóíêöèþ Φ(ϕ) ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì ïëîñêîãî ðî-
                  eimϕ                                               } 2 m2
òàòîðà Ψm (ϕ) = √        (m = 0, ±1, . . . ; ñïåêòð äèñêðåòíûé: Em =        ).
                    2π                                                 2I
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ýéëåðà, ïîëó÷àåì:
                       r                 r
                          2           1 2
              Φ(ϕ) = 3       Ψ0 (ϕ) +          {Ψ1 (ϕ) + Ψ−1 (ϕ)},
                          19          2 19
                r                   r
                  2                1 2
ò.å. c(E0 ) = 3      , c(E±1 ) =            .  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ (|m| > 1)
                  19               2 19
c(Em ) = 0. Äðóãèìè ñëîâàìè, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â E -ïðåäñòàâëåíèè èçîá-
ðàæàåòñÿ áåñêîíå÷íûì ñòîëáöîì. |c(Em )|2 äàåò âåðîÿòíîñòü wm îáíàðó-
æåíèÿ ñîñòîÿíèÿ Ψm (ϕ) â ñîñòîÿíèè Ψ(ϕ).  ÷àñòíîñòè, â íàøåé çàäà÷å
ïðè êàæäîì èçìåðåíèè ýíåðãèè áóäåò ïîëó÷àòüñÿ îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé


                                                           22

Страницы