Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Ψ(x) =
1
x
1
/
2
0
π
1
/
4
exp
µ
ik
0
x −
x
2
2x
2
0
.
(2π})
-3
/
2
(2π})
-1
/
2
c(p) =
1
(2π})
1
/
2
1
x
1
/
2
0
π
1
/
4
+∞
Z
−∞
exp
µ
−
i
}
px + ik
0
x −
x
2
2x
2
0
dx =
=
1
(2}x
0
)
1
/
2
π
3
/
4
+∞
Z
−∞
exp
½
−i
³
p
}
− k
0
´
x −
x
2
2x
2
0
¾
dx.
x
2
2x
2
0
+ i
³
p
}
− k
0
´
x =
1
2x
2
0
n
x
2
+ 2ixx
2
0
³
p
}
− k
0
´o
=
=
1
2x
2
0
½
x
2
+ 2ixx
2
0
³
p
}
− k
0
´
− x
4
0
³
p
}
− k
0
´
2
+ x
4
0
³
p
}
− k
0
´
2
¾
=
=
1
2x
2
0
n
x + ix
2
0
³
p
}
− k
0
´o
2
+
x
2
0
2
³
p
}
− k
0
´
2
.
α
0
+∞
Z
−∞
e
−(t+α
0
)
2
dt =
+∞
Z
−∞
e
−t
2
dt =
√
π.
c(p) =
r
x
0
}
√
π
exp
½
−
x
2
0
2
³
p
}
− k
0
´
2
¾
w(p) = |c(p)|
2
=
x
0
}
√
π
exp
½
−
x
2
0
}
2
(p − }k
0
)
2
¾
Ïðèìåð 2.1. Âîëíîâîé ïàêåò çàäàåòñÿ ôóíêöèåé:
                                                                µ           ¶
                                                   1                     x2
                             Ψ(x) =           1/             exp ik0 x − 2 .
                                             x0 2 π
                                                       1/4              2x0

Íàéòè èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå äàííîãî ñîñòîÿíèÿ (îäíîìåðíûé ñëó-
÷àé). Ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì â ïàêåòå.
Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó (2.6). Íàïîìíèì, ÷òî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå
               -3                     -1
ìíîæèòåëü (2π}) /2 çàìåíÿåòñÿ íà (2π}) /2 :

                                         Z
                                         +∞   µ                  ¶
              1                1                i             x2
  c(p) =           1/2    1/               exp − px + ik0 x − 2 dx =
           (2π})         x0 2 π
                                   1/4          }            2x0
                                         −∞
                                                        Z
                                                        +∞   ½ ³       ´       ¾
                                         1                       p          x2
                         =               1/2 3/4          exp −i   − k0 x − 2 dx. (2.8)
                             (2}x0 )        π                    }         2x0
                                                       −∞

Âûäåëèì â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû (2.8) ïîëíûé êâàäðàò:

   x2     ³p      ´     1 n 2          ³        ´o
                                     2 p
       +i     − k0 x = 2 x + 2ixx0         − k0    =
  2x20      }          2x0               }
            ½          ³       ´     ³        ´2      ³        ´2 ¾
         1     2      2 p          4 p              4 p
      = 2 x + 2ixx0        − k0 − x0      − k0 + x0       − k0      =
        2x0              }             }                }
                          1 n        ³
                                   2 p
                                              ´o2 x2 ³ p
                                                      0
                                                                ´2
                      = 2 x + ix0        − k0     +        − k0 . (2.9)
                         2x0           }             2 }
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîé êîìïëåêñíîé êîíñòàíòå α0
                               Z
                               +∞               Z
                                                +∞
                                          2          2    √
                                 e−(t+α0 ) dt =   e−t dt = π.                     (2.10)
                             −∞                               −∞

   Ïîäñòàâëÿÿ (2.9) â (2.8) è ó÷èòûâàÿ (2.10), ïîëó÷àåì èìïóëüñíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå âîëíîâîãî ïàêåòà:
                         r          ½ 2³            ´2 ¾
                             x0         x0 p
                 c(p) =       √ exp −          − k0
                            } π         2 }
(ðåêîìåíäóåì ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîäåëàòü ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè).
Ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì
                                    ½ 2               ¾
                               x 0     x
              w(p) = |c(p)|2 = √ exp − 20 (p − }k0 )2
                              } π      }

                                                             20

Страницы