Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

c
a
(G) =
Z
Φ
∗
G
(r)Ψ
a
(r) d
3
r.
Ψ
a
(r)
ˆ
G Φ
G
m
(r)
c
a
(G
n
) =
Z
Φ
∗
G
n
(r)Φ
G
m
(r) d
3
r = δ
G
n
G
m
= δ
nm
.
ˆ
G G
δ δ
ˆ
G
Ψ
a
(r)
r
ˆ
G
ˆ
p
a p
ˆ
p
p
Φ
p
(r) =
1
(2π})
3
/
2
exp
µ
i
}
pr
.
c
a
(p) =
Z
Φ
∗
p
(r)Ψ
a
(r) d
3
r =
1
(2π})
3
/
2
Z
exp
µ
−
i
}
pr
Ψ
a
(r) d
3
r.
p
ˆ
G
ˆ
H
E
                                  Z
                       ca (G) =       Φ∗G (r)Ψa (r) d3 r.          (2.4)

   Ðàññìîòðèì òåïåðü òîò ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà Ψa (r) cîâïàäàåò ñ îäíîé
èç ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà Ĝ, íàïðèìåð, ΦGm (r), òîãäà èç (2.2)
cëåäóåò, ÷òî
                       Z
             ca (Gn ) = Φ∗Gn (r)ΦGm (r) d3 r = δGn Gm = δnm .      (2.5)

Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà Ĝ â G-ïðåäñòàâëåíèè
èìååò âèä δ -ñèìâîëà (äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà) è δ -ôóíêöèè (äëÿ íåïðå-
ðûâíîãî ñïåêòðà îïåðàòîðà Ĝ).
    Îïèñàíèå ñîñòîÿíèÿ ñ ïîìîùüþ
Ψa (r) íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì ïðåä-
ñòàâëåíèåì (r-ïðåäñòàâëåíèåì). Åñëè
â êà÷åñòâå îïåðàòîðà Ĝ èñïîëüçóåòñÿ
îïåðàòîð èìïóëüñà p̂, ïðåîáðàçîâàíèå
(2.2) äàåò âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ
 a â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè (p-
ïðåäñòàâëåíèè). Íàïîìíèì, ÷òî ñïåêòð
îïåðàòîðà p̂ âåùåñòâåííûé è íåïðåðûâ-
íûé, à ïðîèçâîëüíîìó ñîáñòâåííîìó
çíà÷åíèþ p ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííàÿ
ôóíêöèÿ                                              Ðèñ. 2.1:
                                         µ     ¶
                                  1        i
                      Φp (r) =      3 exp } pr .                   (2.6)
                               (2π}) /2

Ïîäñòàâëÿÿ (2.6) â (2.4), ïîëó÷èì ôîðìóëó ïåðåõîäà îò êîîðäèíàòíîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ ê èìïóëüñíîìó:
           Z                             Z    µ    ¶
              ∗           3       1             i
   ca (p) = Φp (r)Ψa (r) d r =       3/2   exp − pr Ψa (r) d3 r. (2.7)
                               (2π})            }

Àðãóìåíò p ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé âåëè÷èíîé. Òàêèì îá-
ðàçîì, ïåðåõîä îò êîîðäèíàòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ê èìïóëüñíîìó ÿâëÿåòñÿ,
ïî ñóòè äåëà, èçâåñòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå âîëíîâîé ôóíêöèè.
   Åñëè îïåðàòîðîì Ĝ ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíèàí Ĥ , òî ïðåîáðàçîâà-
íèå (2.2) äàåò ýíåðãåòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè (E -
ïðåäñòàâëåíèå).



                                       19

Страницы