Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

}k
0
}
2
2x
2
0
+∞
Z
−∞
w(p) dp = 1 ¤
Z
1s
Ψ
1s
(r) =
s
Z
3
πa
3
0
exp
µ
−
Z|r|
a
0
,
a
0
1s
c
1s
(p) =
1
π
2
µ
Z
2}a
0
3
/
2
Z
exp
½
−
Z|r|
a
0
−
i
}
pr
¾
d
3
r.
Oz p
θ
p pr = pr cos θ d
3
r = r
2
dr sin θ dθ dϕ
c
1s
(p) =
1
π
2
µ
Z
2}a
0
3
/
2
∞
Z
0
π
Z
0
r
2
exp
µ
−
Zr
a
0
×
× exp
µ
−
i
}
pr cos θ
sin θ dθ dr
2π
Z
0
dϕ.
2π θ
cos θ = t sin θ dθ = −dt
cos 0 = 1 cos π = −1
π
Z
0
exp
µ
−
i
}
pr cos θ
sin θ dθ =
1
Z
−1
e
−
i
}
prt
dt =
i}
pr
³
e
−ipr/}
− e
ipr/}
´
;
                                                               }2
èìååò ãàóññîâó ôîðìó ñ ïàðàìåòðàìè }k0 (ñðåäíèé èìïóëüñ) è         (øè-
                                                              2x20
ðèíà). Ãðàôèê ïîêàçàí íà ðèñ. 2.1. Ïðåäëàãàåì ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòüñÿ
                                    Z
                                    +∞

â âûïîëíåíèè óñëîâèÿ íîðìèðîâêè       w(p) dp = 1.                   ¤
                                               −∞

Ïðèìåð 2.2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè
âîäîðîäîïîäîáíîãî èîíà ñ çàðÿäîì Z .
Ðåøåíèå. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ (1s) â êîîðäèíàòíîì
ïðåäñòàâëåíèè èìååò âèä
                              s         µ       ¶
                                Z3         Z|r|
                    Ψ1s (r) =        exp −        ,         (2.11)
                                πa30        a0

ãäå a0  áîðîâñêèé ðàäèóñ. Ïîäñòàâëÿÿ (2.11) â (2.7), ïîëó÷èì âîëíîâóþ
ôóíêöèþ 1s-ñîñòîÿíèÿ â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè:
                              µ          ¶ 3/2 Z      ½           ¾
                        1          Z                     Z|r|  i
              c1s (p) = 2                          exp −      − pr d3 r.   (2.12)
                       π          2}a0                    a0   }

   Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (2.11) íàïðàâèì îñü Oz âäîëü âåêòîðà p è
ïåðåéäåì â ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (â ýòîì ñëó÷àå óãîë θ îòñ÷è-
òûâàåòñÿ îò âåêòîðà p, è pr = pr cos θ, d3 r = r2 dr sin θ dθ dϕ):

                µ          ¶ 3/2 Z∞ Zπ         µ     ¶
            1        Z                            Zr
  c1s (p) = 2                            r2 exp −      ×
           π        2}a0                          a0
                                0   0
                                              µ          ¶           Z2π
                                                i
                                         × exp − pr cos θ sin θ dθ dr dϕ. (2.13)
                                                }
                                                                      0

Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â (2.13) ðàâåí 2π . Èíòåãðèðîâàíèå ïî óãëó θ îñóùå-
ñòâëÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì çàìåíû cos θ = t (ïðè ýòîì sin θ dθ = −dt;
cos 0 = 1; cos π = −1):

 Zπ      µ          ¶          Z1
           i                      − }i prt      i} ³ −ipr/}    ipr/}
                                                                     ´
      exp − pr cos θ sin θ dθ = e          dt =     e       −e         ;
           }                                    pr
 0                                       −1




                                               21

Страницы