Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 30 стр.

UptoLike

m U(x) = F x
F = const
µ
ˆp
2
2m
F ˆx
Ψ = eΨ
ˆp ˆx
·
p
2
2m
i}F
d
dp
¸
Ψ
E
(p) = EΨ
E
(p).
E
Ψ
E
(p) = C exp
½
ip
}F
µ
E
p
2
6m
¶¾
.
p = z
3
2m}F
ψ(x)
+
Z
Ψ(p) exp
µ
i
}
px
dp =
=
+
Z
−∞
exp
½
i
·
p
}
µ
x +
E
F
+
p
3
6m}F
¸¾
dp
+
Z
−∞
exp
(
iz
"
3
r
2mF
}
2
µ
x +
E
F
+
z
3
3
#)
dp Φ
Ã
3
r
2mF
}
2
µ
x +
E
F
!
,
Ïðèìåð 2.8. Íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé îäíî-
ìåðíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ìàññû m â îäíîðîäíîì ïîëå U (x) = −F x
(F = const).
Ðåøåíèå. Â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà
                       µ 2        ¶
                         p̂
                            − F x̂ Ψ = eΨ                          (2.23)
                        2m

îïåðàòîð p̂ âîçâîäèòñÿ â êâàäðàò, à x̂  â ïåðâóþ ñòåïåíü. Ïîýòîìó óðàâ-
íåíèå (2.23) â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî
ïîðÿäêà, à â èìïóëüñíîì  ïåðâîãî, ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷ó óäîáíî ðåøàòü
â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè. Óðàâíåíèå (2.23) ïðè ýòîì ïðèìåò âèä (ñì.
òàáë. 2.1):
                    · 2            ¸
                      p         d
                          − i}F      ΨE (p) = EΨE (p).             (2.24)
                      2m        dp

Ïîñêîëüêó â îäíîðîäíîì ïîëå äâèæåíèå âñåãäà èíôèíèòíî, ýíåðãåòè÷å-
ñêèé ñïåêòð íåïðåðûâåí.
   Ïðè çàäàííîé ýíåðãèè E , èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ,
ðåøåíèå (2.24) (ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ)
ìîæíî âûïèñàòü ñðàçó:
                                  ½    µ      ¶¾
                                    ip     p2
                   ΨE (p) = C exp       E−       .            (2.25)
                                    }F     6m

   Äëÿ ïåðåõîäà ê êîîðäèíàòíîìó ïðåäñòàâëåíèþ √ íåîáõîäèìî íàéòè
ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè (2.25). Ïîñëå çàìåíû p = z 2m}F ñ òî÷íîñòüþ
                                              3


äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ïîëó÷àåì:

         Z
         +∞         µ     ¶
                      i
  ψ(x) ∼   Ψ(p) exp     px dp =
                      }
         ∞
                Z
                +∞   ½ ·     µ      ¶        ¸¾
                           p      E      p3
              =   exp −i −     x+     +         dp ∼
                           }      F     6m}F
               −∞
  Z
  +∞      (    "r        µ      ¶       #)        Ã r      µ      ¶!
                                      3
                 3   2mF      E     z                3 2mF      E
∼   exp −iz               x +     +        dp ∼ Φ  −        x +      ,
                      }2      F     3                   }2      F
  −∞




                                   30