Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Φ(ξ)
Φ(ξ) =
1
√
π
∞
Z
0
cos
µ
zξ +
z
3
3
dz.
Ψ
E
(p)
C
+∞
R
−∞
Ψ
∗
E
0
(p)Ψ
E
(p) dp = δ(E
0
− E) ¤
rΨ
r
0
(r) = r
0
Ψ
r
0
(r),
Ψ
r
0
(r)
r
0
Ψ
r
0
(r) = δ(r − r
0
),
Z
Ψ
∗
r
0
(r)Ψ
r
00
(r) d
3
r =
Z
δ(r −r
0
)δ(r −r
00
) d
3
r = δ(r
0
− r
00
);
Z
Ψ
∗
r
(r
1
)Ψ
r
(r
2
) d
3
r = δ(r
1
− r
2
).
ãäå Φ(ξ)  ôóíêöèÿ Ýéðè, èìåþùàÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
                                  Z∞      µ        ¶
                             1                  z3
                     Φ(ξ) = √          cos zξ +      dz.
                              π                 3
                                  0

   Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâûå ôóíêöèè äâèæåíèÿ â îäíîðîäíîì ïîëå â êî-
îðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñïåöèàëüíóþ ôóíêöèþ 
ôóíêöèþ Ýéðè. Â èìïóëüñíîì æå ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
Øðåäèíãåðà äàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ (2.25). Òàêèì îáðàçîì, â
äàííîé çàäà÷å èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå îêàçûâàåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíåå
êîîðäèíàòíîãî.
   Ðåêîìåíäóåì ñàìîñòîÿòåëüíî íîðìèðîâàòü âîëíîâûå ôóíêöèè ΨE (p)
ïî øêàëå ýíåðãèé, ò.å. íàéòè íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü C , èñõîäÿ èç
         R
        +∞
óñëîâèÿ    Ψ∗E 0 (p)ΨE (p) dp = δ(E 0 − E).                       ¤
        −∞

Ïðèìåð 2.9. Íàéòè ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ îïåðàòîðà êîîðäèíàòû â êî-
îðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
Ðåøåíèå. Íåîáõîäèìî ðåøèòü ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

                           rΨr0 (r) = r0 Ψr0 (r),

ãäå Ψr0 (r) åñòü ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà êîîðäèíàòû, ñîîòâåòñòâó-
þùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ r0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîìó óðàâíåíèþ óäîâëå-
òâîðÿåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå

                           Ψr0 (r) = δ(r − r0 ),

÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ (2.5).
   Ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íåïðåðûâåí, íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíê-
öèé îáëàäàåò ñâîéñòâàìè îðòîíîðìèðîâàííîñòè è ïîëíîòû:
        Z                          Z
          Ψr0 (r)Ψr00 (r) d r = δ(r − r0 )δ(r − r00 ) d3 r = δ(r0 − r00 );
            ∗              3

                       Z
                          Ψ∗r (r1 )Ψr (r2 ) d3 r = δ(r1 − r2 ).

Äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü è äðóãèì ñïîñîáîì: ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
îïåðàòîðà êîîðäèíàòû èùóòñÿ â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè, à ðåçóëüòàò
ïåðåâîäèòñÿ â êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ïðåäëàãàåì ñäåëàòü ýòî ñà-
ìîñòîÿòåëüíî.


                                       31

Страницы