Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

det
¯
¯
¯
D
E
(0)
n
0
¯
¯
¯
ˆ
H
¯
¯
¯
E
(0)
n
E
− δ
n
0
n
E
¯
¯
¯
= 0.
µ
p
2
2m
− E
Ψ
E
(p) +
Z
hp|U |p
0
iΨ
E
(p
0
) d
3
p
0
= 0,
hp|U |p
0
i =
1
(2π})
3
Z
exp
½
i
}
(p
0
− p)r
¾
U(r) d
3
r
m ω
c
n
(p) =
1
p
2
n
n!p
0
√
π
H
n
(ξ)e
−ξ
2
/2
ξ =
p
p
0
p
2
0
= m}ω n = 0, 1, . . .
Ψ
1
Ψ
2
ˆ
H H
11
= a H
22
= d H
12
= b
H
21
= c E
±
=
1
2
(a + d ±
p
(a − d)
2
+ 4bc)
∗
U(r) =
α
r
µ
p
2
2m
− E
Ψ
E
(p) +
Z
4πα
|p
0
− p|
2
Ψ
E
(p
0
) d
3
p
0
= 0
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ
                      ¯D    ¯ ¯     E          ¯
                      ¯ (0) ¯ ¯ (0)            ¯
                  det ¯ En0 ¯ Ĥ ¯En − δn0 n E ¯ = 0.

   Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü
               µ 2       ¶          Z
                 p
                    − E ΨE (p) + hp| U |p0 i ΨE (p0 ) d3 p0 = 0,
                 2m
                         Z     ½            ¾
                    1            i
ãäå hp| U |p0 i =      3
                           exp     (p0 − p)r U (r) d3 r.
                  (2π})          }
    ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ êîîðäè-
íàòíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
âûðàæàåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò ÷àñòèö è â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëå-
íèè ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì îïåðàòîðîì. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ ïðîñòîé ôóíêöèåé èìïóëüñà. Ïîýòîìó åå îïåðàòîð â êîîðäèíàò-
íîì ïðåäñòàâëåíèè òàêæå èìååò ïðîñòîé âèä. Ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåì,
ñîñòîÿùèõ èç ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ èì-
ïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå, à åñëè èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé, òî ýíåð-
ãåòè÷åñêîå.

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

20. Ëèíåéíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð (ìàññà  m, ÷àñòîòà  ω )
íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè. Íàéòè èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå
                                          1              2         p
âîëíîâîé ôóíêöèè. (Îòâåò : cn (p) = p        √  Hn (ξ)e−ξ /2 ; ξ =    ;
                                      2n n!p0 π                    p0
p20 = m}ω ; n = 0, 1, . . . ).
21. Ñèñòåìà ìîæåò íàõîäèòüñÿ ëèøü â äâóõ ñîñòîÿíèÿõ: Ψ1 è Ψ2 . Ìàò-
ðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà Ĥ èçâåñòíû: H11 = a; H22 = d; H12 = b;
                                                          1
H21 = c. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè. (Îòâåò : E± = (a + d ±
p                                                         2
  (a − d) + 4bc)).
         2

22∗ . Çàïèñàòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ êóëîíîâñêèì ïîòåíöèàëîì U (r) =
α
   â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè.
 r       µ 2      ¶         Z
           p                     4πα
(Îòâåò :      − E ΨE (p) +       0    2
                                        ΨE (p0 ) d3 p0 = 0.)
           2m                  |p − p|


                                    33

Страницы