Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

E U(x)
}/i
Ψ(x) =
C
1
p
p(x)
e
i
}
x
p(x
0
) dx
0
+
C
2
p
p(x)
e
−
i
}
x
p(x
0
) dx
0
, E > U(x);
Ψ(x) =
C
0
1
p
|p(x)|
e
1
}
x
|p(x
0
)| dx
0
+
C
0
2
p
|p(x)|
e
−
1
}
x
|p(x
0
)| dx
0
, E < U(x),
p(x) =
p
2µ(E − U(x)) −
µ C
1
C
2
C
0
1
C
0
2
p
2
À }
¯
¯
¯
¯
dp
dx
¯
¯
¯
¯
, λ
1
k
¯
¯
¯
¯
dk
dx
¯
¯
¯
¯
¿ 1,
p = p(x) k = k(x) = p(x)/} λ = 2π/k
¯
¯
¯
¯
dλ
dx
¯
¯
¯
¯
¿ 1,
dλ/dx λ/d
d
λ ¿ d
U(x)
   Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòèöû ñ çàäàííîé ýíåðãèåé E â ïîëå U (x) ñ òî÷-
íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà }/i áóäåò èìåòü âèä

         C1        Rx                  C2          Rx
                 i
                     p(x0 ) dx0                − }i p(x0 ) dx0
 Ψ(x) = p      e }                 +p        e                 ,      E > U (x); (3.1)
          p(x)                         p(x)
          C10      1
                      Rx     0      0     C20         1
                                                        Rx     0 0
                        |p(x   )| dx
 Ψ(x) = p        e}                   +p           e } |p(x )| dx ,
                                                    −
                                                                      E < U (x), (3.2)
          |p(x)|                          |p(x)|
ãäå
                                       p
                              p(x) =     2µ(E − U (x)) −                         (3.3)

êëàññè÷åñêèé èìïóëüñ 1 ÷àñòèöû; µ  ìàññà ÷àñòèöû; C1 , C2 , C10 , C20 
ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Èç-çà ñïåöèôè÷åñêîé
ñòðóêòóðû ôóíêöèè (3.1) äàííûé ìåòîä èíîãäà íàçûâàþò ìåòîäîì ôàçî-
âûõ èíòåãðàëîâ. Ãëàâíîå åãî ïðåèìóùåñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ íàõî-
æäåíèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé íå òðåáóåòñÿ ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâ-
íåíèÿ Øðåäèíãåðà, äàþùåå îñíîâíóþ ïîãðåøíîñòü â ðåçóëüòàòû ðàñ÷å-
òîâ. Ïðè ýòîì ôóíêöèè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêè äëÿ äîñòà-
òî÷íî øèðîêîãî êëàññà ïîòåíöèàëîâ.
   Óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ
                          ¯ ¯            ¯ ¯
                          ¯ dp ¯       1 ¯ dk ¯
                  p2 À } ¯¯ ¯¯ ,     λ ¯¯ ¯¯ ¿ 1,                  (3.4)
                            dx         k dx

ãäå p = p(x), k = k(x) = p(x)/}, λ = 2π/k  äå-áðîéëåâñêàÿ äëèíà âîëíû.
    Óñëîâèÿì (3.4) ìîæíî ïðèäàòü è äðóãóþ ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâ-
êó:
                                 ¯ ¯
                                 ¯ dλ ¯
                                 ¯ ¯ ¿ 1,                          (3.5)
                                 ¯ dx ¯

ò.å. îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå âîëíîâîãî ÷èñëà íà ïðîòÿæåíèè äå-
áðîéëåâñêîé äëèííû âîëíû äîëæíî áûòü ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé.
Ïðîèçâîäíóþ dλ/dx ìîæíî îöåíèòü ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû êàê λ/d, ãäå
d  õàðàêòåðíûé ðàçìåð îáëàñòè äâèæåíèÿ, ïîýòîìó íåðàâåíñòâî (3.5)
ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ λ ¿ d.
Ïðèìåð 3.1. Êàêîìó óñëîâèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ U (x) äëÿ ïðèìåíèìîñòè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ?
  1 Ýòî ôóíêöèÿ êîîðäèíàò, è åå íåëüçÿ ïóòàòü ñ îïåðàòîðîì èìïóëüñà.




                                            35

Страницы