Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 34 стр.

Ãëàâà 3

Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå

3.1 Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëè-
    æåíèè
Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñóùåñòâó-
åò ëèøü äëÿ âåñüìà îãðàíè÷åííîãî êðóãà ïîòåíöèàëîâ (îñöèëëÿòîðíûé,
êóëîíîâñêèé è íåêîòîðûå äðóãèå).  áîëüøèíñòâå æå ñëó÷àåâ òðåáóåòñÿ
÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-
íåíèÿ. Îäíàêî, äëÿ ñèëüíî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû, íàõîäÿ-
ùåéñÿ â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, êîãäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ áûñòðî îñöèëëè-
ðóåò (âñïîìíèì âèä âîëíîâûõ ôóíêöèé îñöèëëÿòîðà è àòîìà âîäîðîäà ñ
áîëüøèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè; ôàêòè÷åñêè îá ýòîì æå ãîâîðèòñÿ è â
îñöèëëÿöèîííîé òåîðåìå), ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âñå æå ìîæåò
áûòü ïîëó÷åíî ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå, åñëè èñ-
ïîëüçîâàòü íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ. Äëÿ äîñòàòî÷íî
âûñîêèõ è øèðîêèõ ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû âåëè-
÷èíà êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ òàêæå ìîæåò áûòü íàéäåíà àíàëèòè÷å-
ñêè.
   Â äàííîé ñèòóàöèè ñëåäóåò íåñêîëüêî èçìåíèòü ñàì ïîäõîä ê ðåøå-
íèþ çàäà÷è. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ñèëüíî âîçáóæäåííûå ñèñòåìû ïî
ñâîèì ñâîéñòâàì áëèçêè ê êëàññè÷åñêèì, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå êëàññè-
÷åñêîå äåéñòâèå ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ïîñòîÿí-
íóþ Ïëàíêà }, êîòîðóþ òîãäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëûé ïàðàìåòð.
Òåì íå ìåíåå, ïðåäåëüíûé ïåðåõîä } → 0 â ñàìîì óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà
ñìûñëà íå èìååò. Îí îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíî-
âîé ôóíêöèè â âèäå
                                    µ ¶
                                     i
                            Ψ = exp    S
                                     }
è ðàçëîæåíèåì äåéñòâèÿ S â ðÿä ïî ñòåïåíÿì }/i. Äàííûé ìåòîä íî-
ñèò íàçâàíèå êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ, èëè ìåòîäà Âåíòöåëÿ 
Êðàìåðñà Áðèëëþýíà (ÂÊÁ).  äàëüíåéøåì äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ
ðàññìîòðåíèåì îäíîìåðíîé çàäà÷è, ò.ê. äëÿ íåå äàííûé ìåòîä ðàçðàáîòàí
íàèáîëåå ïîëíî.


                                 34