Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Y
lm
(θ, ϕ)
Y
lm
(θ, ϕ)
ˆ
L
2
}
2
l ( l + 1)
ˆ
L
2
Y
lm
(θ, ϕ) = }
2
l ( l + 1)Y
lm
(θ, ϕ).
ˆ
L
i
ˆ
L
i
=
X
jk
ε
ijk
x
j
ˆp
k
= −i}
X
jk
ε
ijk
x
j
∂
∂x
k
.
ˆ
L
i
=
X
jk
ε
ijk
ˆx
j
p
k
= i}
X
jk
ε
ijk
∂
∂p
j
p
k
= ( ε
ijj
= 0; ε
ijk
= −ε
ikj
) =
= −i}
X
jk
ε
ikj
p
k
∂
∂p
j
= (j À k) = −i}
X
jk
ε
ijk
p
j
∂
∂p
k
.
ˆ
L
i
[ˆx
i
, ˆp
j
] = i}δ
ij
ˆ
L
2
ˆ
L
2
Y
lm
(θ
p
, ϕ
p
)
θ
p
ϕ
p
) p r
Y
lm
(θ, ϕ) ¤
(
ˆ
H − E)Ψ(r) = 0
ˆ
H
0
ˆ
H E
(0)
k
X
n
nD
E
(0)
n
0
¯
¯
¯
ˆ
H
¯
¯
¯
E
(0)
n
E
− δ
n
0
n
E
o
C
E
(0)
n
= 0 .
Ïðèìåð 2.10. Íàéòè èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé
Ylm (θ, ϕ).
Ðåøåíèå. Ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè Ylm (θ, ϕ) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíê-
öèÿìè îïåðàòîðà L̂2 , ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì }2 l(l + 1),
â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè:
                           L̂2 Ylm (θ, ϕ) = }2 l(l + 1)Ylm (θ, ϕ).                   (2.26)
Òàêîìó æå óðàâíåíèþ (2.26) áóäóò óäîâëåòâîðÿòü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
è â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà-
÷åíèÿ ïðè ýòîì íå èçìåíÿòñÿ.
   Ñðàâíèì ïðåæäå âñåãî âèä äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò L̂i â ðàçëè÷íûõ
ïðåäñòàâëåíèÿõ.
   Â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè:
                       X                   X          ∂
                 L̂i =   εijk xj p̂k = −i}   εijk xj     .
                                                     ∂xk
                                  jk                       jk

   Â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè (ñì. òàáë. 2.1):
          X                       X            ∂
  L̂i =        εijk x̂j pk = i}        εijk       pk = (εijj = 0; εijk = −εikj ) =
                                              ∂pj
          jk                      jk
                                       X               ∂                  X          ∂
                           = −i}            εikj pk       = (j À k) = −i}   εijk pj     .
                                                      ∂pj                           ∂pk
                                       jk                                  jk

Èòàê, â êîîðäèíàòíîì è èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèÿõ ñòðóêòóðà êîìïî-
íåíò L̂i èäåíòè÷íà. Îòìåòèì äàëåå, ÷òî [x̂i , p̂j ] = i}δij â ëþáîì ïðåäñòàâ-
ëåíèè, è ïîýòîìó ñòðóêòóðà L̂2 è â êîîðäèíàòíîì, è â èìïóëüñíîì ïðåä-
ñòàâëåíèÿõ îäèíàêîâà. Ïîýòîìó ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè L̂2 â èìïóëüñ-
íîì ïðåäñòàâëåíèè òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè Ylm (θp , ϕp ).
Îòëè÷èå îò êîîðäèíàòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî óãëû θp è
ϕp ) òåïåðü çàäàþò íàïðàâëåíèå p, à íå r.
    Çàìåòèì, ÷òî äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî áûëî áû ðåøèòü, âû÷èñëèâ ëèøü
ôóðüå-îáðàç Ylm (θ, ϕ), îäíàêî â íàøåì ñëó÷àå ýòîãî äåëàòü íå íóæíî. ¤
   Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (Ĥ − E)Ψ(r) = 0 â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâ-
ëåíèè (çà áàçèñ êîòîðîãî âûáðàíû ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íåêîòîðîãî ãà-
                                                               (0)
ìèëüòîíèàíà Ĥ0 , îòëè÷íîãî îò Ĥ , ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè Ek ) èìååò
âèä ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæå-
íèÿ ïî áàçèñó:
                 X nD (0) ¯¯ ¯¯        E       o
                                   (0)
                       En0 ¯ Ĥ ¯En − δn0 n E CE (0) = 0.
                                                                   n
                       n


                                                  32

Страницы