Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

C
1
C
2
C
0
1
C
0
2
(p = 0)
E
x → ±∞
C
p
|p(x)|
exp
−
1
}
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
Z
a
|p(x
0
)|dx
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
→
2C
p
p(x)
cos
1
}
x
Z
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
U(x) > E U(x) < E
a
a b
a → b
π
4
→ −
π
4
øåíèÿ (3.1) ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì (3.2) ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êè ïîâîðî-
òà, ò.å. ñâÿçü ìåæäó êîíñòàíòàìè C1 , C2 , C10 , C20 . Îäíàêî äëÿ ïðàâèëüíîé
òî÷êè ïîâîðîòà îáû÷íàÿ ïðîöåäóðà ñøèâàíèÿ ôóíêöèé, çàêëþ÷àþùàÿñÿ
â ïðèðàâíèâàíèè èõ ëîãàðèôìè÷åñêèõ ïðîèçâîäíûõ â ñîñåäíèõ îáëàñòÿõ,
ÿâëÿåòñÿ íåçàêîííîé, ïîñêîëüêó â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè óñëîâèÿ ïðè-
ìåíèìîñòè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ (3.4)(3.6) íå âûïîëíÿþòñÿ
(p = 0).  ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìûå ôîðìóëû ñîïðÿæåíèÿ.
    Äëÿ ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé E , íàõîäÿùåéñÿ â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå (äèñ-
êðåòíûé ñïåêòð), âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà óáûâàòü ïðè x → ±∞
(ðèñ. 3.1, îáëàñòè I, III). Ïðè ýòîì ñâÿçü ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùåãî
ðåøåíèÿ â êëàññè÷åñêè íåäîñòóïíîé îáëàñòè ñ ðåøåíèåì â êëàññè÷åñêè
ðàçðåøåííîé îáëàñòè äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé ñî-
ïðÿæåíèÿ:
                ¯ x               ¯              x                  
                   ¯Z              ¯                   Z
      C          1¯                ¯     2C          1               π
  p         exp− ¯¯ |p(x0 )| dx0 ¯¯ → p      cos      p(x0 ) dx0 − 
     |p(x)|      }¯                ¯      p(x)       }               4   (3.8)
                    a                               a
          U (x) > E                             U (x) < E

Ôîðîìóëà ñîïðÿæåíèÿ (3.8) çàïèñàíà â âèäå, íå çàâèñÿùåì îò òîãî, ñ
êàêîé ñòîðîíû îò òî÷êè ïîâîðîòà (òî÷êà a) ëåæèò êëàññè÷åñêè íåäîñòóï-
íàÿ îáëàñòü äâèæåíèÿ. Òàê, îíà ïðèìåíèìà íåïîñðåäñòâåííî êàê ê ëåâîé
òî÷êå ïîâîðîòà a, òàê è ê ïðàâîé òî÷êå ïîâîðîòà b (ðèñ. 3.1) ñ ñîîòâåòñòâó-
                         π      π
þùåé çàìåíîé a → b è       → − . Ïðè ýòîì ñëåäóåò ïîìíèòü î òîì, ÷òî
                         4      4
ïðè óãëóáëåíèè â êëàññè÷åñêè íåäîñòóïíóþ îáëàñòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
äîëæíà ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàòü.

3.2 Ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ ÁîðàÇîììåðôåëüäà
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ñîïðÿæåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü óñëîâèå, îïðåäåëÿþ-
ùåå â ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè ïîëîæåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé äèñêðåòíîãî
ñïåêòðà (ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ ÁîðàÇîììåðôåëüäà).
Ïðèìåð 3.2. Ïîëó÷èòü ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ ÁîðàÇîììåðôåëüäà äëÿ
ñëó÷àÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 3.1.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó îáå òî÷êè ïîâîðîòà ÿâëÿþòñÿ ïðàâèëüíûìè, çàïè-
øåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â êëàññè÷åñêè äîñòóïíîé îáëàñòè âîçëå êàæäîé




                                     37

Страницы