Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Ψ
a
(x) =
C
a
p
p(x)
cos
1
}
x
Z
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
,
Ψ
b
(x) =
C
b
p
p(x)
cos
1
}
x
Z
b
p(x
0
) dx
0
+
π
4
,
C
a
C
b
x a < x < b
Ψ
a
(x) Ψ
b
(x)
tg
1
}
x
Z
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
= tg
1
}
x
Z
b
p(x
0
) dx
0
+
π
4
.
π
b
Z
a
p(x) dx = π}
µ
n +
1
2
, n = 0, 1, . . .
n
p(x) > 0
a b E
p(x)
E n
n
n
n
n
¤
èç ýòèõ òî÷åê, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé ñîïðÿæåíèÿ (3.8):
                                     x                
                                       Z
                           Ca        1               π
                Ψa (x) = p       cos    p(x0 ) dx0 −  ,            (3.9)
                            p(x)     }               4
                                       a
                                     x                
                                       Z
                           Cb        1               π
                 Ψb (x) = p      cos    p(x0 ) dx0 +  ,           (3.10)
                            p(x)     }               4
                                          b

ãäå Ca è Cb  ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû.
     ëþáîé òî÷êå x êëàññè÷åñêè äîñòóïíîé îáëàñòè (a < x < b), äî-
ñòàòî÷íî óäàëåííîé îò òî÷åê ïîâîðîòà, ôóíêöèè Ψa (x) è Ψb (x) äîëæíû
ïåðåõîäèòü äðóã â äðóãà, ò.å. íåîáõîäèìî ïðèðàâíÿòü èõ ëîãàðèôìè÷åñêèå
ïðîèçâîäíûå. Ïîìíÿ î òîì, ÷òî ìíîæèòåëè ïåðåä êîñèíóñàìè ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê êîíñòàíòû, ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷à-
åì:
               x                      x                 
                 Z                         Z
               1                π        1               π
            tg     p(x0 ) dx0 −  = tg     p(x0 ) dx0 +  .    (3.11)
               }                4        }               4
                    a                         b

   Äëÿ òîæäåñòâåííîãî âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (3.11) àðãóìåíòû òàíãåí-
ñîâ äîëæíû ðàçëè÷àòüñÿ íà öåëîå ÷èñëî π :

                Zb               µ      ¶
                                      1
                     p(x) dx = π} n +     ,       n = 0, 1, . . .   (3.12)
                                      2
                a

Îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ n èñêëþ÷åíû èç-çà òîãî, ÷òî â êëàññè÷åñêè ðàç-
ðåøåííîé îáëàñòè, êàê ìîæíî âèäåòü èç (3.3), p(x) > 0.
   Âûðàæåíèå (3.12) ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëîì êâàíòîâàíèÿ ýíåðãåòè÷åñêèõ
óðîâíåé â 1-ìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå. Êîîðäèíàòû ïðåäåëîâ èíòåãðè-
ðîâàíèÿ a è b (òî÷åê ïîâîðîòà)  ôóíêöèè ýíåðãèè E , êîòîðûå çàäàþòñÿ
íåÿâíî óðàâíåíèåì (3.7). Êëàññè÷åñêèé èìïóëüñ p(x) òàêæå çàâèñèò îò
ýíåðãèè, êàê îò ïàðàìåòðà (ñì. (3.3)). Ïîýòîìó âûðàæåíèå (3.12) ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé â îáùåì ñëó÷àå òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî
ýíåðãèè E ñ öåëûì íåîòðèöàòåëüíûì ïàðàìåòðîì n. Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøå-
íèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé n è äàåò çíà÷åíèå ýíåðãèè
n-ãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ýòîì âû-
ïîëíÿåòñÿ îñöèëëÿöèîííàÿ òåîðåìà: âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ n-ãî âîçáóæäåí-
íîãî ñîñòîÿíèÿ âíóòðè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû îáðàùàåòñÿ â íóëü ðîâíî n
ðàç.                                                               ¤


                                     38

Страницы